2022年双线性变换法设计数字低通滤波器定义 .pdf
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1、燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书1 目录一绪论 . 2二、用双线性法设计低通滤波器 . 22.1 双线性变换法 . 2 2.1.1双线性变换法的基本原理 . 3 2.1.2 转换关系分析 . 4 2.2 巴特沃斯低通滤波器的原理 . 7 2.3 用双线法设计巴特沃斯数字低通滤波器的步骤. 8 三、MATLAB程序 . 9四、程序中命令介绍 . 10五、运行结果及波形 . 11六、结果分析 . 13七心得体会 . 14参考文献 . 15名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
2、- 第 1 页,共 15 页 - - - - - - - - - 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书2 一 绪论数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。数字滤波实质上是一种运算过程,实现对信号的运算处理。输入数字信号(数字序列)通过特定的运算转变为输出的数字序列,因此,数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程,也可以理解为是一台计算机。描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则,使其按照这个规则完成对输入数据的处理。时域离散系统的频域特性:)()()(jjjeHeXeY, 其中)(jeY、)(jeX分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频
3、域特性(或称为频谱特性),)(jeH是数字滤波器的单位取样响应的频谱,又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱)(jeX经过滤波后)()(jjeHeX, 因此,只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的,适当选择)(jeH,使得滤波后的)()(jjeHeX满足设计的要求,这就是数字滤波器的滤波原理。数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性,可分为两种,即无限长冲激响应 (IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR) 数字滤波器。IIR 数字滤波器的特征是,具有无限持续时间冲激响应,需要用递归模型来实现,其差分方程为:NiiNiiinybinxany10)()()(系统函数为:计 IIR 滤波器
4、的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z) , 使其频率响应 H(z) 满足所希望得到的频域指标,即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。二、用双线性法设计低通滤波器2.1 双线性变换法NkkkMrrrZaZbzH101)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 15 页 - - - - - - - - - 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书3 2.1.1双线性变换法的基本原理由于从s平面到z平面的映射sTze具有多值性,
5、使得设计出来的数字滤波器不可避免的出现频谱混迭现象。为了克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混叠效应的缺点,我们使用一种新的变换双线性变换。双线性变换法可认为是基于对微分方程的积分,利用对积分的数值逼近的思想。仿真滤波器的传递函数( )H s为01( ),MkkkNkkkc sH sMNd s(2-1)将展开为部份分式的形式,并假设无重复几点,则1( )NkkpkAH sss( 2-2)那么,对于上述函数所表达的数字信号处理系统来讲,其仿真输入( )x t和模拟输出( )y t有如下关系( )( )( )py ts y tAx t利用差分方程来代替导数,即( )(1)( )y ny ny tT(
6、2-3)同时令1( )( )(1)2y ty ny n1( )( )(1)2x tx nx n这样,便可将上面的微分方程写为对应的差分方程形式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 15 页 - - - - - - - - - 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书4 1( )(1)( )(1)( )(1)22psAy ny ny ny nx nx nT(2-4)两边分别取z变换,可得11( )( )21( )1pY zAH zzX zsTz(2-5)这样,通
7、过上述过程,就可得到双线性变换中的基本关系,如下所示11211zsTz(2-6)22sTzsT(2-7)所谓的双线性变换, 仅是指变换公式中s与z的关系无论是分子部份还是分母部份都是线性的。2.1.2 转换关系分析双线性变换法采用非线性频率压缩方法,将整个频域轴上的频率范围压缩到-/T/T 之间,再用z=esT转换到 z 平面上。也就是说,第一步现将整个S平面压缩映射到S1 平面的 -/T/T 一条横带里;第二步再通过标准变换关系1eS T将此横带变换到整个z 平面上去。这样就使S平面与 Z 平面建立了一一对应的胆汁关系,消除了多只变换性,也就消除了频谱混叠现象,映射关系如图所示。j1j jI
8、 z/T 0 0 1-1 0 1Re z-/T S平面1S平面Z平面图 2.1 双线性变换法的映射情况名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 15 页 - - - - - - - - - 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书5 为了将 S 平面的整个虚轴j压缩到1S平面轴上的 -/T 到/T 段上,可以通过以上的正切的变换实现=2/Ttan(1T/2) ( 2-8)式中, T 仍是采样间隔。当1由-/T 经过 0 变化到/T 时,由-经过 0 变化到 +,
9、也即映射了整个j轴。将上式(1-1)写成111122222TTjjTTjjeejTee(2-9)将此关系解析延拓到整个S平面和1S平面,令j=s, 1j=S1,则得S111221tan()21es TsTSTeTT(2-10) 再将 S1 平面通过以下标准变换关系映射到Z 平面: z=S1Te(2-11)从而得到 S 平面和 Z 平面的单值映射关系为; 112 11ZSTZ(2-12) 122122TTSSZTTSS(2-13) 式( 1-5)和式( 1-6)是 S 平面与 Z 平面之间的单值映射关系,这种变换都是两个线性函数之比,因此成为双线性变换。依靠双线性变换是建立起来s 平面和 z 平
10、面的单值映射关系,由上式我们可以得到模拟频率和数字频率之间的关系:2tan()2T(2-14)从上式可知,当时,终止在折叠频率=处,整个j轴是单值地对应于单位元的一周。因此双线性变换法不同于脉冲响应不变法,它不存在频率混淆问题。由于 S平面的左半平面映射到Z 平面的单位圆内,S平面的右半平面映射到Z 平面的单位圆外, S平面的虚轴映射到Z 平面的单位圆上。 因此, 稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得到的数字滤波器也一定是稳定的。但是,它的频率变换关系是非线性畸变。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -
11、- - - - - - 第 5 页,共 15 页 - - - - - - - - - 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书6 这种非线性即便可以通过预畸变来校正。用双线性变换设计数字滤波器时,一般总是先将数字滤波器的各临界频率经式(1-7 )的频率预畸变,求得相应参考模拟滤波器的各临界频率,然后设计参考模拟滤波器的传递函数,最后通过双线性变换公式球的数字滤波器的传递函数。这样通过双线性变换,正好将这些频率点映射到我们所需要的位置上。图 2.2 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射下面我们利用模拟滤波器设计IIR 数字低通滤波器的步骤。a) 确定数字低通滤波器的技术指标:同代截止频率p、
12、同代衰减p、阻带截止频率、阻带衰减s。b) 将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。采用双线性变换法,便捷频率的转换关系为2tan()2Tc) 按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。d)将模拟滤波器系统函数Ha(S)从 s 平面转换到z 平面,得到数字低通滤波器系统反函数Ha(z) 。 H(z)=Ha(S)|1111ZSZooo)j(aH)(ejHooo)(eargjH)j (argaH名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 15 页
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