《-2016-1《线性代数》期末试卷(a)答案及评分标准.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《-2016-1《线性代数》期末试卷(a)答案及评分标准.doc(9页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、_A卷20152016学年第一学期线性代数期末试卷答案(32学时必修) 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 应用数学系 考试日期 2016年1月15日 题 号一二三四五六七总分本题满分1515211612147本题得分阅卷人注意事项:1请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题(请勿用铅笔答题),反面及附页可作草稿纸;2答题时请注意书写清楚,保持卷面清洁;3本试卷共七道大题,满分100分;试卷本请勿撕开,否则作废;4. 本试卷正文共7页。本题满分15分本题得分说明:试卷中的字母表示单位矩阵;表示矩阵的伴随矩阵;表示矩阵的秩;表示可逆矩阵的逆矩阵.一、填空题(请从下面6个题目中任选5个小题,每小题3分;若6
2、个题目都做,按照前面5个题目给分)15阶行列式中,项前面的符号为【 负 】.2.设,是的第4行元素的代数余子式,则 等于【 0 】.3设,为矩阵,且,则【 2 】. 4若向量组线性相关,则【 1 】. 5设是3阶实的对称矩阵,是线性方程组的解,是线性方程组的解,则常数【 1 】. 6设和是3阶方阵,的3个特征值分别为,若,则行列式【 -8 】.二、选择题(共5个小题,每小题3分) 本题满分15分本题得分1. 设为3阶矩阵,且,则行列式等于【 A 】.(A) ; (B) ; (C) ; (D) .2. 矩阵的逆矩阵为【 A 】(A) ; (B) ; (C) ; (D) .3设是阶非零矩阵,满足,
3、若,则【 A 】 (A) ; (B) ; (C) 可逆; (D) 满秩.4. 设,则的第3行第1列的元素为【 D 】 (A) ; (B) ; (C) ; (D) .5设,是使二次型正定的正整数,则必有【 B 】(A) ; (B) ; (C) ; (D) 以上选项都不对.本题满分21分本题得分三、求解下列各题(共3小题,每小题7分)1. 若线性无关,线性相关,求.解:因为与线性相关,所以必定存在不全为 零的数,使得 -2分整理得: 由于线性无关,因此可得由于不全为零,即上述齐次线性方程组有非零解,因此,由此得k = 6. -7分2. 设,若,求.解:由可知,由此可得 又 -2分因此 因此可得 .
4、 -7分3. 设矩阵,且,求与的值解:由可知的特征值相同,而易知的特征值为 -1,t,3,因此的特征值也为 -1,t,3 利用特征值的性质可得 -5分解得. -7分本题满分16分本题得分四、(共2小题,每小题8分)1求向量组的一个最大无关组,并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解:令, 把进行行变换,化为行最简形, -6分则是C的列向量组的一个最大无关组,且,故是A的列向量组的一个最大无关组,且.-8分2. 问满足什么条件,才能使得共有两个线性无关的特征向量?解:由,得A的特征值:要使A有两个线性无关的特征向量,则特征值3对应一个线性无关的特征向量,即的解空间的维数为1,则, -6分而,因此
5、可知. -8分本题满分12分本题 得分五、问为何值时,线性方程组无解,有无穷多解,并在有无穷多解时求出其通解解:记方程组的增广矩阵为,则,对其进行行变换,化为行阶梯形:, 易知,当时,方程组无解; 当时,方程组有无穷多解; -6分当时,与原方程组同解的方程组为,由此可得原方程组的通解为. -12分本题满分14分本题 得分六、求实二次型的秩,并求正交变换,化二次型为标准形解:记二次型的矩阵为,故二次型的秩为1. -4分由,可得:,当求解的一个基础解系:,单位化:,当求解的一个基础解系:,正交化:,单位化:, -12分 令,则可得正交变换,二次型的标准形为:. -14分本题满分7分本题 得分七、(请从下面2个题目中任选1个,若2个题目都做,按照第1题给分)1. “设是阶实的反对称矩阵,则对于任何维实的列向量,和正交,且可逆”您认为该结论成立吗?请说明理由.解:该结论成立。由于为反对称阵,则,对于任意维实的列向量,有:所以,即和正交; -3分考虑,即,等式两边同时左乘,得,由此得:,即只有零解,所以,可逆. -7分2. 设矩阵满足,试求出的第2行的元素.解:等式两边同时左乘得:,整理得:,已知,由此可求出, -5分从而可求出的第2行的元素为:1,-1, 0. -7分_
限制150内