柯西中值定理.doc
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1、_2柯西中值定理和不等式极限一 柯西中值定理 定理(6.5) 设 、满足(i) 在区间 上连续,(ii) 在 内可导(iii) 不同时为零;(iv) 则至少存在一点 使得 柯西中值定理的几何意义 曲线 由参数方程 给出,除端点外处处有不垂直于 轴的切线,则 上存在一点 P处的切线平行于割线 .。 注意曲线 AB在点 处的切线的斜率为 ,而弦 的斜率为 . 受此启发,可以得出柯西中值定理的证明如下:由于, 类似于拉格朗日中值定理的证明,作一辅助函数 容易验证 满足罗尔定理的条件且 根据罗尔定理,至少有一点 使得 ,即 由此得注2:在柯西中值定理中,取 ,则公式(3)可写成 这正是拉格朗日中值公式
2、,而在拉格朗日中值定理中令 ,则 . 这恰恰是.注3:设 在区间 I上连续,则 在区间 I上为常数 , . 三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性1、利用其几何意义要点:由拉格朗日中值定理知:满足定理条件的曲线上任意两点的弦,必与两点间某点的切线平行。可以用这种几何解释进行思考解题: 例1:设 在 (a ,b) 可导,且在 a,b 上严格递增,若,则对一切有 。证明:记A(),对任意的x,记C(),作弦线AB,BC,应用拉格朗日中值定理,使得分别等于AC,BC弦的斜率,但因严格递增,所以,从而注意到,移项即得, 2、利用其有限增量公式要点:借助于不同的辅助函数,可由有限增量公式进行思考解题
3、:例2:设上连续,在(a,b)内有二阶导数,试证存在使得证:上式左端作辅助函数则上式=,=,其中 3、作为函数的变形要点:若在a,b上连续,(a,b)内可微,则在a,b上 (介于与之间)此可视为函数的一种变形,它给出了函数与导数的一种关系,我们可以用它来研究函数的性质。例3 设在上可导,并设有实数A0,使得在上成立,试证证明 :在0,上连续,故存在 使得 =M于是M=A。故 M=0,在0, 上恒为0。用数学归纳法,可证在一切( i=1,2,)上恒有=0, 所以=0, 。利用柯西中值定理研究函数的某些特性 1. 证明中值点的存在性: 例 1 设函数在区间 上连续, 在 内可导, 则 , 使得.证
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- 中值 定理
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