最新协方差与相关系数PPT课件.ppt
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1、协方差与相关系数协方差与相关系数 前面我们介绍了随机变量的数学期望前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差,对于多维随机变量,反映分量之和方差,对于多维随机变量,反映分量之间关系的数字特征中,最重要的,就是本间关系的数字特征中,最重要的,就是本讲要讨论的讲要讨论的协方差和相关系数协方差和相关系数本节将要讨论的协方差是反映随机本节将要讨论的协方差是反映随机变量之间依赖变量之间依赖关系关系的一个数字特征的一个数字特征.例例1已知离散型随机向量已知离散型随机向量),(YX的概率分布如右表的概率分布如右表, ,求求).,cov(YX1 . 0015. 021 . 005. 03 . 0102 . 01
2、. 00201 XY解解容易求得容易求得X的概率分的概率分, 3 . 00 XP,45. 01 XP;25. 02 XPY的概率分布为的概率分布为,55. 01 YP,25. 00 YP, 2 . 02 YP布为布为计算得计算得0202 . 0001 . 0)1(0)( XYE1 . 0215 . 0013 . 0)1(1 1 . 02200215. 0)1(2 . 0 2 . 0225. 0055. 0)1()( YE.15. 0 25. 0245. 013 . 00)( XE,95. 0 于是于是)()()(),cov(YEXEXYEYX .1425. 015. 095. 0 完完, 3
3、. 00 XP,45. 01 XP;25. 02 XP,55. 01 YP,25. 00 YP, 2 . 02 YP例例2 设连续型随机变量设连续型随机变量),(YX的密度函数为的密度函数为, 010,8),( 其其它它yxxyyxf求求).,cov(YX解解由由),(YX的密度函数可求得其边缘密度函的密度函数可求得其边缘密度函数分别为数分别为: :, 010),1(4)(2 其其它它xxxxfX, 010,4)(3 其其它它yyyfY dxxxfXEX)()( 102)1(4dxxxx,15/8 dyyyfYEY)()( 1034dyyy, 5/4 dxdyyxxyfXYE),()( 110
4、8xdyxyxydx, 9/4 , 010),1(4)(2 其其它它xxxxfX, 010,4)(3 其其它它yyyfY)(XE,15/8 )(YE, 5/4 )(XYE, 9/4 从而从而)()()(),cov(YEXEXYEYX 完完,225/4 协方差的大小在一定程度上反映了协方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互间的关系,但它还受相互间的关系,但它还受X与与Y本身度量单位本身度量单位的影响的影响. 例如:例如:Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)为避免随机变量本身度量单位不同而影响它们相互为避免随机变量本身度量单位不同而影响它们相互关系的度量,关系的度量, 可将每个随机变量标
5、准化,可将每个随机变量标准化,即取即取,)()(,)()(YDYEYYXDXEXX 并将并将),cov( YX作为作为X与与Y之间相互关系的一种度之间相互关系的一种度量,量,而而,)()(),cov(),cov(YDXDYXYX 定义定义 设设),(YX为二维随机向量,为二维随机向量,, 0)( XD, 0)( YD称称)()(),cov(YDXDYXXY 为随机变量为随机变量X和和Y的的相关系数相关系数, 有时也记有时也记XY 为为. 特别地,特别地,当当0 XY 时,时,称称X与与Y不相关不相关.三、相关系数的定义三、相关系数的定义四、相关系数的性质四、相关系数的性质性质性质1.; 1 X
6、Y 证证 由方差的性质和协方差的定义知,由方差的性质和协方差的定义知, 对任意实数对任意实数, b有有),cov(2)()()(02YXbYDXDbbXYD 令令,)(),cov(XDYXb 则则)(),cov()()(2XDYXYDbXYD ,1)()()(),cov(1)(22XYYDYDXDYXYD ,1)()()(),cov(1)(22XYYDYDXDYXYD 由于方差由于方差)(YD是正的,是正的,故必有故必有, 012 XY 所以所以. 1 XY 注意到此时注意到此时, 0),cov( YX易见结论成立易见结论成立. 注注:X与与Y相互独立相互独立X与与Y不相关不相关.性质性质2.
7、若若X和和Y相互独立,相互独立,; 0 XY 则则例例1 设设X服从服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布内的均匀分布,而而Y=cos X,(请课下自行验证)(请课下自行验证)因而因而 =0, 即即X和和Y不相关不相关 .但但Y与与X有严格的函数关系,有严格的函数关系,即即X和和Y不独立不独立 .不难求得,不难求得,Cov(X,Y)=0,性质性质3.若若, 0)(, 0)( YDXD则则1 XY 存在常数存在常数),0(, aba使使, 1 baXYP而且而且0 a时,时,. 1 XY 注注:相关系数刻画了相关系数刻画了X和和Y间间“线性相关线性相关”的的程度程度.XY 的值越接近于的值越接近
8、于1,Y与与X线性相关程度越高;线性相关程度越高;XY 的值越接近于的值越接近于0,Y与与X线性相关程度越弱;线性相关程度越弱;1 XY 时,时,Y与与X有严格线性关系;有严格线性关系;0 XY 时,时,Y与与X无线性关系;无线性关系;即即X和和Y以概率以概率1线性相关线性相关.而且而且0 a时,时,. 1 XY 这里注意:这里注意:只说明只说明Y与与X没有线性没有线性关系关系. 并不能说明并不能说明Y与与X之间没有其它函数关系之间没有其它函数关系.与与从而不能推出从而不能推出YX独立独立.0 XY 时,时,当当4. 设设,)(2baXYEe 称其为用称其为用baX 来来近似近似Y的的均方误差
9、均方误差, 则有下列结论:则有下列结论:若若, 0)(, 0)( YDXD则则)()(),(/ ),cov(000XEaYEbXDYXa 使均方误差达到最小使均方误差达到最小. =E(Y2)+b2E(X2)+a2- 2bE(XY)+2abE(X) - 2aE(Y)e =EY-(a+bX)2 0)(2)(2)(20)(2)(222XaEXYEXbEbeYEXbEaae)(),(0XDYXCovb 解得解得)()(00XEbYEa这样求出的最佳逼近为这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X注注:示示Y的好坏程度,的好坏程度,我们可用均方误差我们可用均方误差e来衡量以来衡量以baX 近似表近似表似
10、程度越好,似程度越好, 且知最佳的线性近似为且知最佳的线性近似为,00bXa 其余均方误差其余均方误差).1)(2XYYDe 能说明能说明XY 越接近越接近1,e越小越小. 反之,反之,XY 越近于越近于0,e就越大,就越大,Y与与X的的线性相关性越小线性相关性越小.e值越小表示值越小表示baX 与与Y的近的近而而从这个侧面也从这个侧面也完完例例3 设设),(YX的分布律为的分布律为14/14/14/14/12/14/1004/142/104/14/1012112iixYPyYPYX 易知易知, 0)( XE, 2/5)( YE, 0)( XYE于是于是, 0 XY YX,不相关不相关. .
11、这表示这表示YX,不存不存在线性关系在线性关系, , 但但,1201, 2 YPXPYXP,1201, 2 YPXPYXP知知YX,不是相互独立的不是相互独立的.事实上事实上, ,X和和Y具有关系具有关系: :,2XY Y的值完全可由的值完全可由X的值所确定的值所确定. .完完例例4 设设 服从服从, 上的均匀分布上的均匀分布, , 且且,sin X cos Y判断判断X与与Y是否不相关是否不相关, , 是否独立是否独立.解解 由于由于, 0sin21)( dXE, 0cos21)( dYE而而. 0cossin21)(2 dXYE因此因此),()()(YEXEXYE 从而从而X与与Y不相关不
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