协方差与相关系数讲稿.ppt
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1、关于协方差与相关系关于协方差与相关系数数第一页,讲稿共三十五页哦第第1010讲讲 协方差与相关系数协方差与相关系数矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵一、协方差一、协方差 1.1.协方差协方差定义定义定义定义 设设设设(X,Y Y)为二维随机变量,如果为二维随机变量,如果E EX X E E(X)Y Y E E(Y)存在存在.则称此为随机变量则称此为随机变量则称此为随机变量则称此为随机变量X与与Y Y的协方差的协方差.记为记为Cov(Cov(X,Y Y).).即即即即 Cov(X X,Y Y)=)=E EX E E(X X)Y E(Y).).离散型离散型 连续型连续型第二页,讲稿共三十五页哦 例例1
2、1 在一盒中装有大小相同的在一盒中装有大小相同的2 2只黑球,只黑球,4 4只白球,只白球,现从盒中连续取球两次,每次任取一只现从盒中连续取球两次,每次任取一只.设随机变量设随机变量讨论随机变量讨论随机变量(X,Y)的协方差的协方差.解解 (1 1)无放回的情况)无放回的情况 YX01pi01/154/151/314/152/52/3pj1/32/3第三页,讲稿共三十五页哦解解 (1 1 1 1)无放回的情况)无放回的情况 YX01pi01/154/151/314/152/52/3pj1/32/3第四页,讲稿共三十五页哦 例例2 2 设随机变量设随机变量(X,Y)在区域在区域在区域在区域D=(
3、=(x,yx,y)x2+y y2 21上上上上服从均服从均匀分布,求匀分布,求Cov(X,Y).解解解解 由已知条件由已知条件于是于是第五页,讲稿共三十五页哦第第1010讲讲 协方差与相关系数协方差与相关系数矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵一、协方差一、协方差 1.协方差协方差定义定义 2.协方差协方差的计算公式的计算公式第六页,讲稿共三十五页哦 例例1 1 在一盒中装有大小相同的在一盒中装有大小相同的2 2只黑球,只黑球,4 4只白球,只白球,现从盒中连续取球两次,每次任取一只现从盒中连续取球两次,每次任取一只.设随机变量设随机变量讨论随机变量讨论随机变量(X,Y)的协方差的协方差.解解 (2
4、2 2 2)有放回的情况)有放回的情况)有放回的情况)有放回的情况 YX01pi01/92/91/312/94/92/3pj1/32/3第七页,讲稿共三十五页哦第第1010讲讲 协方差与相关系数协方差与相关系数矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵一、协方差一、协方差 1.1.协方差协方差协方差协方差定义定义定义定义 2.协方差协方差协方差协方差的计算公式的计算公式 3.协方差协方差协方差协方差的性质的性质(1)Cov(1)Cov(X,Y)=Cov(Y Y,X X);(2)Cov(2)Cov(X,X)=)=D(X X);Cov(X X,C)=0)=0 第八页,讲稿共三十五页哦第第1010讲讲 协方差与相
5、关系数协方差与相关系数矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵一、协方差一、协方差 1.协方差协方差定义定义定义定义 2.协方差协方差协方差协方差的计算公式的计算公式的计算公式的计算公式 3.3.协方差协方差协方差协方差的性质的性质的性质的性质 (1)Cov(X,Y Y)=Cov(Y,X X);(2)Cov(2)Cov(X,X)=)=D(X X);Cov(X X,C C)=0)=0 (3)Cov(aX,bY)=ababCov(X X,Y Y),其中其中a a,b b为为 常数;常数;(4)D(X+Y)=D(X X)+D D(Y)+2Cov()+2Cov(X X,Y Y);第九页,讲稿共三十五页哦第第101
6、0讲讲 协方差与相关系数协方差与相关系数矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵一、协方差一、协方差 1.1.协方差协方差协方差协方差定义定义 2.协方差协方差协方差协方差的计算公式的计算公式的计算公式的计算公式 3.协方差协方差协方差协方差的性质的性质(1)Cov(1)Cov(X,Y Y)=Cov()=Cov(Y Y,X);(2)Cov(X X,X)=)=D D(X X);Cov();Cov(X,C C)=0)=0 (3)Cov(3)Cov(aXaX,bY)=abCov(X X,Y Y),其中其中a,b b为为为为 常数;常数;常数;常数;(5)Cov(X+Y,Z Z)=Cov(X,Z Z)+Cov()
7、+Cov(Y Y,Z););(4)(4)D(X X+Y)=D(X X)+)+D(Y)+2Cov(X X,Y);第十页,讲稿共三十五页哦第十一页,讲稿共三十五页哦第第1010讲讲 协方差与相关系数协方差与相关系数矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵一、协方差一、协方差 1.1.协方差协方差定义定义定义定义 2.2.协方差协方差协方差协方差的计算公式的计算公式 3.3.协方差协方差协方差协方差的性质的性质的性质的性质(1)Cov(X X,Y Y)=Cov(Y Y,X););(2)Cov(2)Cov(X,X)=)=D(X);Cov();Cov(X X,C C)=0)=0 (3)Cov(3)Cov(aXaX,
8、bYbY)=abCov(X X,Y Y),),其中其中a,b为为为为 常数;常数;常数;常数;(5)Cov(5)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z Z);(4)(4)D D(X X+Y)=D(X)+)+D D(Y Y)+2Cov(X,Y Y););(6)第十二页,讲稿共三十五页哦 对任意的实数对任意的实数对任意的实数对任意的实数t,有,有又又所以所以因此因此即即特别特别特别特别第十三页,讲稿共三十五页哦 设设(X,Y)为二维随机变量,如果为二维随机变量,如果EX E(X)Y E(Y)存在存在,D(X)0,D(Y)0,则称则称为为X与与Y的相关系数的相关系数.记作记作 XY.
9、二、相关系数二、相关系数第第1010讲讲 协方差与相关系数协方差与相关系数矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵 1.相关系数相关系数相关系数相关系数定义定义 2.相关系数相关系数性质性质性质性质第十四页,讲稿共三十五页哦 可以证明可以证明上上式式表表明明:均均方方误误差差是是|XYXY|的的严严格格单单调调递递减减函函数数,即即当当的的严严格格单单调调递递减减函函数数,即即当当|XYXY|较较大大时时,e较较 小小,说说 明明X X,Y Y线线性性联联系系紧紧密密,特特别别线线性性联联系系紧紧密密,特特别别|XY|=1|=1时时,X X,Y之之间间以以概概率率 1 1存存在在线线性性关关系系存存在在线
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