75幂级数.ppt
《75幂级数.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《75幂级数.ppt(22页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、75幂级数幂级数2 函数项级数的收敛点与收敛域函数项级数的收敛点与收敛域(1)(1)如果如果 , ,函数项级数函数项级数 收敛收敛, ,则称则称 为级数为级数 的收敛点的收敛点, ,否则称为发散点否则称为发散点. . 10)(nnxu 1)(nnxuIx 00 x 1)(nnxu(2)(2)函数项级数函数项级数 的所有收敛点的全体称的所有收敛点的全体称为收敛域为收敛域, ,所发散点的全体称为发散域所发散点的全体称为发散域. .收敛域收敛域0 xS0()S x01()nnux ( )( )nnS xuxx = =1 1称称函函数数为为函函数数项项级级数数的的和和函函数数, ,其其中中( )nnu
2、x = =1 1属属于于的的收收敛敛域域. . 1( )( ).nnS xux 即即 ( )( )nnnuxnSx = =1 1 函函数数项项级级数数的的前前 项项和和数数列列记记为为, ,则则在在收收敛敛域域上上有有lim( )( )( ).nnnnSxS xux = =1 121.1nnx = =1 1例例 求求函函数数项项级级数数的的收收敛敛域域210,1nx 解解: 21.1nnx = =1 1该该级级数数为为正正项项级级数数1limnnnuu 22211lim11nnnxx 2221lim1nnnxx 1x 11x 11x 2221lim1nnnxxx 21x 1 比值判别法失效比值
3、判别法失效. .21| 1,lim1nnxx 当当时时1, .所所以以原原级级数数发发散散21(,1)(1,).1nnx = =1 1级级数数的的收收敛敛域域为为21| 1,1nnxx = =1 1当当时时 原原级级数数1,2n = =1 1.所所以以原原级级数数发发散散 在函数项级数中在函数项级数中, , 有一类十分特殊的级数有一类十分特殊的级数, ,它的每一它的每一项都是项都是 x 的幂函数的幂函数, ,即即 . . ()nnnua xnN项级数为幂级数项级数为幂级数.我们称这种函数我们称这种函数二、幂级数及其敛散性二、幂级数及其敛散性1. 幂级数的概念幂级数的概念010 (1)nnnnn
4、a xaa xa x 形形如如001000 ()()() (2)nnnnnaxxaaxxaxx 与与定义定义的级数的级数, 分别称为分别称为01,na aa称为幂级数的系数称为幂级数的系数.x的幂级数的幂级数与与(x - x0)的幂级数的幂级数.其中其中 注注 因经变换因经变换 后后, , 幂级数幂级数(2)(2)可转化为可转化为(1), (1), 故下面主要讨论形式故下面主要讨论形式(1)(1)幂级数的敛散性幂级数的敛散性. .0 xxt2. 幂级数的收敛半径和收敛域幂级数的收敛半径和收敛域0,nnna x 对对幂幂级级数数而而言言0,x 当当时时.总总是是收收敛敛的的00.nnnxa x
5、所所以以总总是是幂幂级级数数的的收收敛敛点点0,nnna x 当当幂幂级级数数有有非非零零的的收收敛敛点点时时 其其收收敛敛域域有有什什么么特特点点?与与该该收收敛敛点点有有什什么么关关系系?定理定理1 (1 (阿贝尔阿贝尔Abel定理定理) ) 如果级数如果级数 在在 处收敛处收敛, ,则它在满足则它在满足不等式不等式 的一切的一切 处绝对收敛;处绝对收敛; 0nnnxa)0(00 xxx|0 xx x如果级数如果级数 在在 处发散处发散, ,则它在满足不等式则它在满足不等式 的一切的一切 处发散处发散. . 0nnnxa0 xx 0| |xx xx0 0 x 0 x 1x 1x 发散区间发
6、散区间发散区间发散区间 R R 收敛区间收敛区间推论推论 如果幂级数如果幂级数 不是仅在不是仅在 一点收敛一点收敛, ,也不是在也不是在整个数轴上都收敛整个数轴上都收敛, ,则必有一个完全确定的正数则必有一个完全确定的正数 存在存在, ,使得使得 0nnnxa0 xR当当 时时, ,幂级数绝对收敛;幂级数绝对收敛;Rx |当当 时时, ,幂级数发散;幂级数发散;Rx | 当当 与与 时时, ,幂级数可能收敛也可能发散;幂级数可能收敛也可能发散;Rx Rx R 正正数数为为幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径; ;(,);R R 开开区区间间为为幂幂级级数数的的收收敛敛区区间间注注 (1) 若幂级数
7、若幂级数0nnna x 只在只在x = = 0 0收敛收敛, ,此时收敛区间即为收敛域此时收敛区间即为收敛域, ,为为(-,+).(-,+).(2)若幂级数若幂级数0nnna x 对于一切对于一切x均收敛均收敛,则收敛半径则收敛半径R=0.此时收敛域内只有一个点此时收敛域内只有一个点x=0.则收敛半径则收敛半径R= +.问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径? ? ()或或定理定理 如果幂级数如果幂级数 的所有系数的所有系数 , , 0nnnxa0 na设设 nnnaa1limlimnnna (2)(2)则当则当 时时, ,0 ; R(3)(3)则当则当 时时, , . 0 R(
8、1)(1)则当则当 时时, ,0 1;R 1,lim.nnnaa 其其中中 证明:考查幂级数证明:考查幂级数 ,0nnna x 111( )limlim,( )nnnnnnnnuxaxxuxa x 则由比值判别法有则由比值判别法有01(1)1(0),nnnxxa x 若若即即则绝对收敛则绝对收敛; ;01(2)1(0),nnnxxa x 若若即即发散发散; ;01(3)1(0),nnnxxa x 若若即即敛散性待定敛散性待定. .01 1 绝对收敛绝对收敛敛散待定敛散待定敛散待定敛散待定发散发散发散发散x注注 求幂级数求幂级数 的收敛域的步骤是的收敛域的步骤是: :0nnna x 11lim,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 75 幂级数
限制150内