幂级数().ppt
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1、幂级数()现在学习的是第1页,共35页收敛域收敛域:级数级数 的收敛点的全体所成的的收敛点的全体所成的集合称为级数集合称为级数 的的收敛域收敛域 和函数和函数:在级数在级数 的收敛域上的收敛域上称为级数称为级数 的的和函数和函数 余和余和:现在学习的是第2页,共35页2 幂级数幂级数幂级数幂级数:形如形如(1)的级数称为的级数称为 x-a 的的幂级数幂级数,a 称为幂级数称为幂级数(1)的的基点基点,称为幂级数称为幂级数(1)的的系数系数 当当 a=0 时时,(1)变形为变形为(2)式式(2)就是以就是以 a=0 为基点的为基点的 x 的幂级数的幂级数 现在学习的是第3页,共35页若令若令 t
2、=x-a,则幂级数则幂级数(1)可表示为可表示为(3)式式(3)就是以就是以 a=0 为基点的为基点的 t 的幂级数的幂级数.所以所以,我们只需讨论以我们只需讨论以 a=0 为基点的幂级数为基点的幂级数(2)就够了就够了 问题问题:(1)幂级数幂级数(2)的收敛范围是怎样的的收敛范围是怎样的?(2)幂级数幂级数(2)的收敛范围如何确定的收敛范围如何确定?(3)幂级数表示的和函数幂级数表示的和函数 S(x)有何性质有何性质?现在学习的是第4页,共35页定理定理(阿贝尔定理阿贝尔定理)(1)如果对不等于零的值如果对不等于零的值 x1,幂级数幂级数 收敛收敛,则对区间则对区间 中的一切中的一切 x,
3、幂级数幂级数 绝对收敛绝对收敛 (2)如果幂级数如果幂级数 在点在点 x2 处发散处发散,则对满足则对满足的一切的一切 x,幂级数幂级数 都发散都发散 现在学习的是第5页,共35页证明证明(1)由由 收敛收敛 存在存在 M 0,使使任取任取 x ,则则 .由于由于因为因为收敛收敛 现在学习的是第6页,共35页据比较判别法知级数据比较判别法知级数 收敛收敛,(2)利用反证法利用反证法 若若 使级数使级数 收敛收敛,则由结论则由结论(1)可知级数可知级数 收敛收敛,矛盾矛盾 所以结论成立所以结论成立 从而知级数从而知级数 绝对收敛绝对收敛 现在学习的是第7页,共35页定理说明定理说明:对于幂级数对
4、于幂级数 ,只要它不是处处发散只要它不是处处发散(注意注意:幂级数在基点处总是收敛的幂级数在基点处总是收敛的),则它的收敛范围则它的收敛范围一定是以基点为中心的对称区间一定是以基点为中心的对称区间(含端点或不含含端点或不含端点端点,也可为无穷区间也可为无穷区间),并且在此区间的内部并且在此区间的内部,幂级数绝对收敛幂级数绝对收敛 因此因此,阿贝尔定理阿贝尔定理刻画了幂级数的收敛域的特征刻画了幂级数的收敛域的特征现在学习的是第8页,共35页定义定义同样同样,将幂级数将幂级数 收敛的点的全体收敛的点的全体称为此幂级数的称为此幂级数的收敛域收敛域 而当而当 时时,对于幂级数对于幂级数 ,如果存在一正
5、数如果存在一正数 r,使当使当 时时,级数级数 收敛收敛,级数级数 发散发散,则称此数则称此数 r 为幂级数为幂级数 的的收敛半径收敛半径,并称区间并称区间(-r,r)为此幂级数的为此幂级数的收敛收敛区间区间现在学习的是第9页,共35页幂级数收敛域的确定幂级数收敛域的确定:首先必须确定幂级数首先必须确定幂级数 的收敛半径的收敛半径 r 如果如果 ,则有则有(1)若若=0,此时对任意的此时对任意的 x R ,幂级数幂级数 都收敛都收敛 收敛域为收敛域为(-,+)收敛半径为收敛半径为 r=+现在学习的是第10页,共35页(2)若若=+,此时对任意的此时对任意的 x R ,x 0,有有 收敛半径为收
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