D5-1定积分概念与性质.ppt
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1、目录 上页 下页 返回 结束 第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、 定积分的定义定积分的定义三、三、 定积分的近似计算定积分的近似计算定积分的概念及性质 第五五章 四、四、 定积分的性质定积分的性质目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分问题举例一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy,轴及x以及两直线bxax,所围成 , 求其面积 A .?A)(xfy 矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bahyOxab目录 上页 下页 返回 结束 1xix1ixxabyO解决步骤解决步骤 :1) 大化小大化小.在区间 a , b 中任意
2、插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形, 并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii目录 上页 下页 返回 结束 3) 近似和近似和.niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限. 令, max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim1xix1ixxabyOi目录 上页 下页 返回 结束 2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直
3、线运动, ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1) 大化小大化小., ,1iiitt任取将它分成, ),2, 1(,1nittii在每个小段上物体经2) 常代变常代变.,)(代替变速以iv得iiitvs)(,1,21个分点中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度n 个小段过的路程为目录 上页 下页 返回 结束 3) 近似和近似和.iniitvs1)(4) 取极限取极限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同 :“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限
4、 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限目录 上页 下页 返回 结束 Oab x二、定积分定义二、定积分定义 (P225 ),)(上定义在设函数baxf的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积可积 .记作目录 上页 下页 返回 结束 baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函
5、数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量用什么字母表示无关 , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(目录 上页 下页 返回 结束 定积分的几何意义定积分的几何意义:Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和AO目录 上页 下页 返回 结束 O1 xyni可积的充分条件可积的充分条件:nix1,nii取),2, 1(ni定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理定理2.,)(上有界
6、在函数baxf且只有有限个间断点 (证明略)例例1. 利用定义计算定积分.d102xx解解: 将 0,1 n 等分, 分点为niix ), 1 ,0(ni.,)(可积在baxf2xy iiiixxf2)(则32ni目录 上页 下页 返回 结束 iinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn注 O1 xyni2xy 注. 当n 较大时, 此值可作为 的近似值xx d102注注 利用,133) 1(233nnnn得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233
7、nnnn1131312233两端分别相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n目录 上页 下页 返回 结束 121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例2. 用定积分表示下列极限:ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110Ox1ni 1ni目录 上页 下页 返回 结束 三、定积分的近似计三、定积分的近似计算算, ,)(baCxf设,d)(存在则baxx
8、f根据定积分定义可得如下近似计算方法:), 1 ,0(nixiaxi,nabx), 1 ,0()(niyxfii记baxxfd)(xyxyxyn110)(110nnabyyy将 a , b 分成 n 等份: Oabxyix1ix1. 左矩形公式)(21nnabyyybaxxfd)(xyxyxyn212. 右矩形公式目录 上页 下页 返回 结束 baxxfd)(xyyii211)()(21110nnyyyynab11niabxOyix1ixayObx12 ixix222 ixmx20 xbaxxfd)(imiimimyyyymab211121202463. 梯形公式4. 抛物线法公式抛物线法公式
9、的推导抛物线法公式的推导baxxfd)(等分,分成将mnba2,xyyyiii2)4(6121222)4(621222iiiyyymab上作抛物线(如图)4(6212221iiimiyyymabimiimimyyyymab21112120246,222iixx在ayObx12 ixix222 ixmx20 x则以抛物线为顶的小曲边梯形面积经推导可得:目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 用梯形公式和抛物线法公式xxId14102解解: :计算yi(见右表)的近似值.13993. 3I14159. 3Iixiyi00.04.0000010.13.9604020.23.8461530.33.66
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- D5 积分 概念 性质
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