具有幂条件的矩阵类的研究与Jordan标准形.ppt
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1、具有幂条件的矩阵类的研究与Jordan标准形,杨忠鹏 陈梅香,一、问题的来源,1. 教学 2. 学生毕业论文选题 3. 考研试题,二、问题的内容,近年来,J.koliha1 和 Y.Tian2,3等一批学者对幂等矩阵的性质进行了深刻的研究,他们探讨了两个幂等矩阵的和、差、乘积、换算子、线性组合的等一系列的秩等式关系,并得到了在约束条件 下幂等矩阵的线性组合的可逆性与组合系数a,b选择无关的结果。,1. 若A2=A,则称A为幂等矩阵。,文献5研究了幂等矩阵与三幂等矩阵线性组合的幂等性. 文献6利用秩的恒等式来判定矩阵的幂等、3幂等或m幂等性. 文献7讨论了三个两两可交换的三幂等矩阵的线性组合的可
2、 逆性.,2.若 A3=A,称 A为三幂等矩阵。,m幂等矩阵的研究引起很多人的关注: 文献8-10讨论了m幂等矩阵的线性组合的幂等性, 11,12研究了m幂等矩阵的一些代数性质.,由上可以看出,具有幂条件的矩阵形式多样,可否有一个统一的形式?,三 问题的解决,定义1与13的(m,l)幂等矩阵的规定相同,13还研究了(m,l)幂等矩阵性质与判定,如:,这说明作为本质(m,l)幂等矩阵判定的充分必要条件的命题2和3都不成立.15应用最小多项式来刻划本质(m,l)幂等矩阵的两个充要条件都是不成立的.出现问题主要原因,可能在于没有从内部结构上把握这类矩阵特点.,从16,命题5和15,定理7可得应用矩阵
3、秩的恒等判定(m,l)幂等矩阵的充要条件.事实上,要得到为本质(m,l)幂等矩阵的结果,与14-16相比不仅要求Am=Al,还要证明m是这个等式成立的最小正整数.,由14,引理2.1知AFnn的幂等性与数域的扩大无关, 因此问题可归结为A在复数域上的Jordan标准形的幂等性.这样 总设ACnn,满足,我们在18中应用矩阵AC nn的Jordan标准形得到了 本质(m,l)幂等矩阵的特征刻画. 作为应用,可给出本质m对合、 本质m幂等矩阵的充要条件.,四、进一步的讨论,在19、20和11等关于含幺结合环上的k次幂等矩阵正交 与代数等价的讨论基础上,最近12研究了数域F上的相关情况, 使得讨论深
4、入到了特征多项式和特征值等矩阵理论的核心问题。,我们在文献22中应用数域上(m,l)幂等矩阵与m幂等矩阵的 关系,得到了数域上(m,l)幂等矩阵的l次方幂的代数等价、相似 和特征多项式相等是互为确定的结论。,参考文献,1J.J.KoliHa,V.Rakocevic,Sttaskraba.The difference and sum of projectors. Linear Algebra Appl. 2004,8:1-10. 2Y.G. Tian,G. P.H.Styan.Rank equalities for idempotent and involutory matrices. Line
5、ar Algebra Appl. 2001 ,335 :101-117. 3 Y.G.Tian,G.P.H.Styan Rank equalities for idempotent matrices with applications.Journal of Computional and Mathematics. 2006,191 :77-97. 4 J.K. Baksalary, O.M. Baksalary, Nonsingularity of linear combinations of idempotent matrices, Linear Algebra Appl.2004,388
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