微分中值定理习题课.doc
《微分中值定理习题课.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《微分中值定理习题课.doc(11页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流微分中值定理习题课【精品文档】第 11 页第三 微分中值定理习题课教学目的 通过对所学知识的归纳总结及典型题的分析讲解,使学生对所学的知识有一个更深刻的理解和认识教学重点 对知识的归纳总结教学难点 典型题的剖析教学过程 一、知识要点回顾1费马引理2微分中值定理:罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理3微分中值定理的本质是:如果连续曲线弧上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线,则这段弧上至少有一点C,使曲线在点C处的切线平行于弦AB4罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值的条件是充分的,但不是必要的即当条件满足时,结论一定成立;而当条件不满足时,结论有可能成
2、立,有可能不成立如,函数在上不满足罗尔定理的第一个条件,并且定理的结论对其也是不成立的而函数在上不满足罗尔定理的第一和第三个条件,但是定理的结论对其却是成立的5泰勒中值定理和麦克劳林公式6常用函数、的麦克劳林公式7罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理间的关系8、型未定式9洛必达法则10、型未定式向或型未定式的转化二、练习1. 下面的柯西中值定理的证明方法对吗?错在什么地方? 由于、在上都满足拉格朗日中值定理的条件,故存在点,使得又对任一 ,所以上述两式相除即得答 上述证明方法是错误的因为对于两个不同的函数和,拉格朗日中值定理公式中的未必相同也就是说在内不一定存在同一个,使得式
3、和式同时成立例如,对于,在上使拉格朗日中值定理成立的;对,在上使拉格朗日中值定理成立的,两者不等2. 设函数在区间上存在二阶导数,且.试证明在内至少存在一点,使还至少存在一点,使分析 单纯从所要证明的结果来看,首先应想到用罗尔定理由题设知,且在上满足罗尔定理的前两个条件,故在内至少存在一点,使至于后一问,首先得求出,然后再考虑问题,且这样根据题设,我们只要在上对函数再应用一次罗尔定理,即可得到所要的结论证 由于在上存在二阶导数,且,在上满足罗尔定理的条件,故在内至少存在一点,使由于且,在上满足罗尔定理的条件,故在 内至少存在一点,使由于,所以3.设为满足方程的实数,试证明方程在内至少有一个实根
4、分析 证明一个方程在某个区间内至少有一个实根的问题,就同学们目前所掌握的知识来看主要有两种方法,一种是用零点定理,另一种是用罗尔定理.要用零点定理,函数需要满足在上连续,且但,因此这种方法并不能直接应用换一种方法,就应考虑罗尔定理,而要用罗尔定理解决上述问题,就得设并将的原函数求出来,然后对原函数应用罗尔定理在这个问题中的原函数求起来很容易,求出后,根据题设条件,对在上应用罗尔定理即可得到所要的结论证 引入辅助函数因为在上连续,在内可导,所以由罗尔定理知,在内至少存在一点,使得,即于是方程在内至少有一个实根4. 设函数在上可导,且试证明曲线弧:上至少有一点处的切线平行于直线分析 由于直线的斜率
5、为,所以上述命题的本质是要证明在内存在一点,使得由于,因此若设,则要证上述命题,只须证明在内存在一点,使得即可这是一个用罗尔定理解决的问题在上满足罗尔定理的前两个条件没问题,只是由题设我们还不能直接得到所满足的是罗尔定理的第三个条件.但是我们注意在上连续,而,且1介于-1和2之间因此由介值定理知,在内必存在一点,使得这样在上对应用罗尔定理即可证得所要的结果证 引入辅助函数在上连续,且.由介值定理知,在内比存在一点,使得又,且在上满足罗尔定理的前两个条件,故在内必存在一点,使得,即由于,所以5. 设在上可导,试证明在内必存在一点,使得象上述这种含有中值的等式,一般应考虑用微分中值定理去证明方法一
6、 用罗尔定理证分析 要用罗尔定理证明一个含有中值的等式,第一步要将等式通过移项的方法化为右端仅为零的等式,即第二步将等式左端中的都换为,并设第三步是要去确定的原函数,并在相应的区间上对应用罗尔定理即可本问题中的原函数为证 引入辅助函数由题设知,在上连续,在内可导,且,由罗尔定理知,在内必存在一点,使得,即方法二 用拉格朗日中值定理证 分析 要用拉格朗日中值定理证明一个含有中值的等式,第一步要将含有的项全部移到等式的右端,其余的项全部移到等式的左端,即作如下恒等变形: . (3)第二步是把等式右端中的都换为,并设第三步是要去确定的原函数.本问题中的原函数为第四步确定了的原函数后,针对相应的区间,
7、验证(3)式左端是否为或.若是,则只要对在上应用拉格朗日中值定理即可得到所要的结论;否则,需另辟新径,考虑用罗尔定理或柯西中值定理等其它方法去解决问题.在本问题中,由于,所以因此,本问题可通过对函数在上应用拉格朗日中值定理来证明.证 引入辅助函数由题设知,在上满足拉格朗日中值定理条件,故在内必存在一点,使得又由题设知,所以有方法三 用柯西中值定理证分析 用柯西中值定理证明一个含有中值的等式,其第一步也是将含有的项全部移到等式的右端,其余的项全部移到等式的左端.即将作如下恒等变形:第二步是把等式右端化为分式形式,即作如下变形: . (4)第三步把(4)式右端中的全都换为,并设分子函数为,分母函数
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 微分 中值 定理 习题
限制150内