2022年2022年历年高考真题考点归纳第九章解析几何第二节圆锥曲线 .pdf
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1、三、解答题26.(江苏18)如图,在平面直角坐标系xOy中, M、N 分别是椭圆12422yx的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A 两点,其中P在第一象限,过P作 x 轴的垂线,垂足为C,连接 AC,并延长交椭圆于点B,设直线 PA的斜率为 k (1)当直线PA平分线段 MN,求 k 的值;(2)当 k=2 时,求点 P到直线 AB的距离 d;(3)对任意k0,求证: PA PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分16 分. 解:( 1)由题设知,),2,0(),0 ,2(,2,2NMba故所以线段
2、MN中点的坐标为)22, 1(,由于直线PA平分线段 MN,故直线 PA过线段 MN 的中点,又直线PA过坐标原点,所以.22122k(2)直线 PA的方程2221,42xyyx代入椭圆方程得解得).34,32(),34,32(,32APx因此于是),0,32(C直线 AC的斜率为.032, 13232340yxAB的方程为故直线.32211|323432|,21d因此(3)解法一:将直线 PA的方程kxy代入2222221,421212xyxkk解得记则)0 ,(),(),(CkAkP于是故直线 AB 的斜率为,20kk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
3、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 25 页 - - - - - - - - - 其方程为,0)23(2)2(),(222222kxkxkxky代入椭圆方程得解得223222(32)(32)(,)222kkkxxBkkk或因此. 于是直线PB的斜率.1)2(23)2(2)23(2222322231kkkkkkkkkkkk因此., 11PBPAkk所以解法二:设)0,(),(,0,0),(),(11121212211xCyxAxxxxyxByxP则. 设直线 PB,AB的斜率分别为21,kk因为 C在直线 AB 上,所以.22)()
4、(0111112kxyxxyk从而1)()(212112121212211xxyyxxyykkkk.044)2(12221222122222221222122xxxxyxxxyy因此., 11PBPAkk所以27.(安徽理21)设,点A的坐标为( 1,1) ,点B在抛物线yx上运动,点Q满足QABQ,经过Q点与Mx轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足MPQM,求点P的轨迹方程。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 25 页 - - - - - - - - - 本
5、题考查直线和抛物线的方程,平面向量的概念,性质与运算,动点的轨迹方程等基本知识,考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力,全面考核综合数学素养. 解:由MPQM知 Q,M,P三点在同一条垂直于x 轴的直线上,故可设.)1(),(),(),(),(2020220yxyxyyxxxMyxQyxP则则再设),1 ,1().(,),(010111yxyyxxQABQyxB即由解得.)1(,)1(011yyxx将式代入式,消去0y,得.)1()1(,)1(2211yxyxx又点 B 在抛物线2xy上,所以211xy,再将式代入211xy,得.012),1 (, 0.0)1()1 ()1 (2,)1(2)
6、1()1()1(,)1()1()1(22222222yxyxxxyxxyx得两边同除以因故所求点P的轨迹方程为.12xy28. (北京理19)已知椭圆22:14xGy.过点( m,0)作圆221xy的切线 I 交椭圆 G 于 A,B两点 . (I)求椭圆G 的焦点坐标和离心率;(II)将AB表示为 m 的函数,并求AB的最大值 . (19) (共 14 分)解: ()由已知得, 1,2 ba所以.322bac所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0, 3(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
7、- - - - 第 3 页,共 25 页 - - - - - - - - - 离心率为.23ace()由题意知,1| m. 当1m时,切线 l 的方程1x,点 A、B 的坐标分别为),23, 1(),23, 1(此时3| AB当 m=1 时,同理可得3| AB当1| m时,设切线l 的方程为),(mxky由0448)41 (.14),(2222222mkmxkxkyxmxky得设 A、B两点的坐标分别为),)(,(2211yxyx,则2222122214144,418kmkxxkmkxx又由 l 与圆.1, 11|,1222222kkmkkmyx即得相切所以212212)()(|yyxxAB4
8、1)44(4)41(64)1 (2222242kmkkmkk.3|342mm由于当3m时,,3| AB所以),1 1,(,3|34|2mmmAB. 因为,2|3|343|34|2mmmmAB且当3m时, |AB|=2 ,所以 |AB| 的最大值为2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 25 页 - - - - - - - - - 29.(福建理17)已知直线l:y=x+m,mR。(I)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l 相切与点 P,且点 P在 y 轴上,
9、求该圆的方程;(II)若直线l 关于 x 轴对称的直线为l,问直线l与抛物线C:x2=4y 是否相切?说明理由。本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13 分。解法一:(I)依题意,点P的坐标为( 0,m)因为MPl,所以01120m,解得 m=2,即点 P的坐标为( 0,2)从而圆的半径22|(20)(02)2 2,rMP故所求圆的方程为22(2)8.xy(II)因为直线l的方程为,yxm所以直线 l的方程为.yxm由22,4404yxmxxmxy得244416(1)mm(1)当1,0m即时,直线 l
10、与抛物线 C相切(2)当1m,那0时,直线 l与抛物线 C不相切。综上,当m=1 时,直线 l与抛物线 C 相切;当1m时,直线 l与抛物线 C 不相切。解法二:(I)设所求圆的半径为r,则圆的方程可设为22(2).xyr依题意,所求圆与直线:0lxym相切于点 P(0,m) ,则224,|20|,2mrmr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 25 页 - - - - - - - - - 解得2,2 2.mr所以所求圆的方程为22(2)8.xy(II)同解法一
11、。30.(广东理19)设圆 C 与两圆2222(5)4,(5)4xyxy中的一个内切,另一个外切。(1)求 C 的圆心轨迹L 的方程 ; (2)已知点M3 5 4 5(,),(5,0)55F,且 P为 L 上动点,求MPFP的最大值及此时点P的坐标(1)解:设 C 的圆心的坐标为( ,)x y,由题设条件知2222|(5)(5)|4,xyxy化简得 L 的方程为221.4xy( 2)解:过M,F的直线l方程为2(5)yx,将其代入L 的方程得21532 5840.xx解得12126 514 56 52 514 52 5,(,),(,).515551515xxlLTT故 与 交点为因 T1 在线
12、段 MF 外, T2 在线段 MF 内,故11| 2,MTFTMF22| 2.MTFTMF,若 P不在直线 MF 上,在MFP中有|2.MPFPMF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 25 页 - - - - - - - - - 故|MPFP只在 T1 点取得最大值2。31.(湖北理20)平面内与两定点1(,0)Aa,2( ,0)Aa(0)a连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹, 加上1A、2A两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线()求曲线C的方程,并讨论
13、C的形状与m值得关系;()当1m时,对应的曲线为1C;对给定的( 1,0)(0,)mU,对应的曲线为2C,设1F、2F是2C的两个焦点。试问:在1C撒谎个,是否存在点N,使得1FN2F的面积2|Sm a。若存在,求tan1FN2F的值;若不存在,请说明理由。本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及分类与整合和数形结合的思想。(满分 14 分)解: (I)设动点为M,其坐标为( ,)x y,当xa时,由条件可得12222,MAMAyyykkmxaxaxa即222()mxymaxa,又12(,0),( ,0)AaAA的坐标满足222,mxyma故依题意,曲线C 的
14、方程为222.mxyma当1,m时曲线 C的方程为22221,xyCama是焦点在y 轴上的椭圆;当1m时,曲线 C的方程为222xya,C是圆心在原点的圆;当10m时,曲线 C的方程为22221xyama,C是焦点在x 轴上的椭圆;当0m时,曲线 C的方程为22221,xyamaC是焦点在x 轴上的双曲线。(II)由( I)知,当 m=-1 时, C1的方程为222;xya当( 1,0)(0,)m时,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 25 页 - - -
15、- - - - - - C2的两个焦点分别为12(1,0),(1,0).FamFam对于给定的( 1,0)(0,)m,C1上存在点000(,)(0)N xyy使得2|Sm a的充要条件是22200020,0,121| |.2xyayam ym a由得00 |,ya由得0|.1m aym当|150,0,21m aamm即或1502m时,存在点 N,使 S=|m|a2 ;当|15,21m aam即-1m或152m时,不存在满足条件的点N,当1515,00,22m时,由100200(1),(1,)NFamxyNFamxy,可得22221200(1),NFNFxm ayma令112212|,|,NFr
16、NFrF NF,则由22121 21 2cos,cosmaNFNFr rmar r可得,从而221 21sin1sintan22cos2maSr rma,于是由2|Sm a,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 25 页 - - - - - - - - - 可得2212 |tan|,tan.2mmam am即综上可得:当15,02m时,在 C1上,存在点N,使得212|,tan2;Sm aF NF且当150,2m时,在 C1上,存在点N,使得212|,tan2;
17、Sm aF NF且当1515( 1,)(,)22m时,在 C1上,不存在满足条件的点N。32.(湖南理21)如图 7,椭圆22122:1(0)xyCabab的离心率为32,x 轴被曲线22:Cyxb截得的线段长等于C1的长半轴长。()求C1,C2的方程;()设C2与 y 轴的焦点为M,过坐标原点O 的直线l与 C2 相交于点A,B,直线 MA,MB 分别与 C1相交与 D,E(i)证明: MDME; (ii)记 MAB,MDE 的面积分别是12,S S问:是否存在直线l,使得121732SS?请说明理由。解 : ()由题意知.1, 2,2,2,23baabbaace解得又从而故 C1,C2的方
18、程分别为.1, 14222xyyx()(i)由题意知,直线l 的斜率存在,设为k,则直线l 的方程为kxy. 由12xykxy得012kxx. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 25 页 - - - - - - - - - 设212211,),(),(xxyxByxA则是上述方程的两个实根,于是. 1,2121xxkxx又点 M 的坐标为( 0,1) ,所以2121212212122111)() 1)(1(11xxxxkxxkxxkxkxxyxykkMBMA
19、.11122kk故 MAMB,即 MDME. (ii)设直线MA 的斜率为 k1,则直线 MA 的方程为1, 1, 1211xyxkyxky由解得1,1021kykxyx或则点 A 的坐标为) 1,(211kk. 又直线 MB 的斜率为11k,同理可得点B的坐标为).11,1(211kk于是221111111111111| |1|1|222|kSMAMBkkkkk由044, 1221yxxky得. 08)41 (1221xkxk解得12121218,140,14114kxkxykyk或则点 D 的坐标为2112211841(,).1 414kkkk又直线 ME 的斜率为k1,同理可得点E的坐标
20、为).44,48(2121211kkkk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页,共 25 页 - - - - - - - - - 于是)4)(1(|)1 (32|2121211212kkkkMEMDS. 因此21122114(417).64SkSk由题意知,2221112114171(417),4,.64324kkkk解得或又由点 A、B 的坐标可知,21211111113,.12kkkkkkkk所以故满足条件的直线l 存在,且有两条,其方程分别为.2323xyxy
21、和33.(辽宁理20)如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、 右端点 M,N 在 x 轴上,椭圆 C2的短轴为MN,且 C1,C2的离心率都为e,直线 lMN,l 与 C1 交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D(I)设12e,求BC与AD的比值;(II)当 e 变化时,是否存在直线l,使得 BOAN,并说明理由解: (I)因为 C1,C2的离心率相同,故依题意可设22222122242:1,:1,(0)xyb yxCCababaa设直线:(|)lxtta,分别与 C1,C2的方程联立,求得2222( ,),( ,).abA tatB tatba4分当13,2
22、2ABebayy时分别用表示 A,B 的纵坐标,可知222 |3|:|.2 |4BAybBCADya6分( II) t=0 时的 l 不符合题意 .0t时, BO/AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO与 AN 的斜率 kAN 相等,即名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页,共 25 页 - - - - - - - - - 2222,baatatabtta解得222221.abetaabe因为2212| |,01,1,1.2etaeee又所以解得所以当202e时,不存
23、在直线l,使得 BO/AN;当212e时,存在直线l 使得 BO/AN. 12分34.(全国大纲理21)已知 O 为坐标原点, F为椭圆22:12yC x在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为- 2的直线l与 C交于 A、B 两点,点 P满足0.OAOBOP()证明:点P 在 C 上;()设点P关于点 O 的对称点为Q,证明: A、P、B、Q 四点在同一圆上解:(I)F(0,1) ,l的方程为21yx代入2212yx并化简得242 210.xx 2 分设112233(,),(,),(,),A x yB xyP xy则122626,44xx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -
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