2022年二阶线性微分方程及其解法 .pdf
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1、第三节二阶线性微分方程及其解法n 阶微分方程的一般形式为:( )( , , ,)0nF x y yyy,一般情况下,求n阶微分方程的解是困难的. 作为基础知识,本节仅讨论二阶常系数线性微分方程的求解方法. 一、二阶线性微分方程解的结构如果二阶微分方程) ,( yyxFy的未知函数及其导数都是一次项的,称为二阶线性微分方程 . 二阶线性微分方程的一般形式为).()()( xfyxqyxpy(7.3.1)如果0)(xf,则方程( 7.3.1)成为.0)()( yxqyxpy(7.3.2)方程( 7.3.2)称为二阶齐次线性微分方程,相应地,方程(7.3.1)称为二阶非齐次线性微分方程 . 定理 7
2、.1 齐次线性微分方程解的叠加性定理. 设1y和2y是二阶齐次线性微分方程(7.3.2)的两个解,则2211ycycy也是微分方程(7.3.2)的解,其中21,cc为任意常数 . 证:将2211ycycy代入方程( 7.3.2)的左端,可得)()()(221122112211ycycxqycycxpycyc)() )() (221122112211ycycxqycycxpycyc=)()( (1111yxqyxpyc)()( (2222yxqyxpyc=0,所以,2211ycycy也是微分方程(7.3.2)的解 .定理 7.1 表明,二阶齐次线性微分方程的解可叠加 . 如果我们已知二阶齐次线性
3、微分方程的两个解1y和2y,很容易得到含有任意常数21,cc的解,2211ycycy. 如果解1y和2y有一定关系,那么,解2211ycycy中的任意常数21,cc可以合并成一个任意常数. 因此,依据本章第一节的论述,它并不是二阶齐次线性微分方程的通解. 那么,二阶齐次线性微分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - 方程的两个解1y和2y要满足哪些条件才能使解2211ycycy成为二阶齐次线性微分方程的通解呢?为此,引
4、入线性相关和线性无关的概念. 定义 7.1 设函数1y和2y是定义在某个区间I 上的两个函数, 如果存在两个不全为零的常数21,cc,使02211ycyc在区间上恒成立,则称函数1y和2y在区间上是线性相关的,否则是线性无关的. 确定两个函数1y和2y在区间上是否线性相关的简易方法为:看这两个函数之比12yy是否为常数 . 如果12yy等于常数,则1y与2y线性相关;如果12yy等于函数,则1y与2y线性无关. 例如 , 123,yy则1y与2y线性相关 . 12yxy,则1y与2y线性无关 . 定理7.2二阶齐次线性微分方程的通解结构定理. 如果1y和2y是二阶齐次线性微分方程(7.3.2)
5、的两个线性无关的特解,则2211ycycy是微分方程( 7.3.2)的通解,其中21,cc为任意常数 . 例如 , 1xye,22xye,3xye42xye都是二阶齐次线性微分方程10y的解, 21,cc是任意常数 ,则下列哪些选项表示微分方程10y的通解 : A.1122c yc yB. 1124c yc yC. 112c ycD. 1324c yc yE. 113c yyF. 114yc yG. 112234()()c yycyy由二阶齐次线性微分方程的通解结构定理,可知 :选项 B,G 为该方程的通解. 本定理可推广到更高阶齐次线性微分方程. 定理7.3 非齐次线性微分方程的通解结构定理
6、. 如果*y是二阶非齐次线性微分方程(7.3.1)的一个特解,Y是该方程对应的二阶齐次线性微分方程(7.3.2)的通解, 即余函数,则*yYy是二阶非齐次线性微分方程(7.3.1)的通解 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - 证:将*yYy代入方程( 7.3.1)的左端,可得*)(*)(*)(yYxqyYxpyY*)()*)() * (yYxqyYxpyY=)()( (YxqYxpY*)(*)(*(yxqyxpy
7、=)(xf,所以,*yYy是微分方程( 7.3.1)的解,又Y是二阶齐次线性微分方程(7.3.2)的通解,它含有两个任意常数,即解中*yYy含有两个任意常数,因此*yYy是二阶非齐次线性微分方程(7.3.1)的通解 .上述定理和定义是求非齐次线性微分方程通解的理论基础. 根据上述定理和定义,求二阶非齐次线性微分方程通解的步骤为:(1)求对应的二阶齐次线性微分方程(7.3.2)的两个线性无关的特解1y和2y,构成对应的二阶齐次线性微分方程的余函数2211ycycY;(2)求二阶非齐次线性微分方程(7.3.1)的一个特解*y;则,二阶非齐次线性微分方程( 7.3.1)的通解为*yYy. 上述步骤也
8、适用于求更高阶非齐次线性微分方程的通解. 二、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为.0 qypyy(7.3.3)其中p,q为常数 . 根据定理7.2,要求二阶常系数齐次线性微分方程(7.3.3)的通解,只要求出该方程的任意的两个线性无关的特解1y和2y即可 . 注意到方程( 7.3.3)的系数是常数,可以设想如果能找到一个函数y,其导数 y, y和y之间只相差一个常数,该函数就可能是方程 (7.3.3)的特解 . 而基本初等函数中的指数函数xey恰好具有这个性质. 因此,设方程(7.3.3)的解为xey,其中为待定常数, 将xey、xey和xey2代入微分方程(7.
9、3.3) ,则有0)(2xeqp,即02qp(7.3.4)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - 我 们 称 方 程 ( 7.3.4) 为 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 ( 7.3.3) 的 特 征 方 程 , 而 称qpF2)(为二阶常系数齐次线性微分方程(7.3.3)的 特征多项式,特征方程的根2422, 1qpp称为二阶常系数齐次线性微分方程(7.3.3)的 特征根 . 因为微分方程(7.3
10、.3)的特征方程(7.3.4)为二次代数方程,其特征根有三种可能的情况,下面分别讨论并给出微分方程(7.3.3)的通解 . (1)当042qp时,特征方程有两个相异的实根1和2,因此,微分方程有两个特解xxeyey2121,由于xeyy)(2121, 所以21, yy线性无关 .故二阶常系数齐次线性微分方程( 7.3.3)的通解为xxececy2121(21,cc为任意常数)(7.3.5)(2)当042qp时,特征方程有重根21,因此,微分方程只有一个特解xey1. 设xexhyxhy)()(12是 微 分 方 程 ( 7.3.3 ) 另 一 个 特 解 , 求 导得:xxexhexhy)()
11、( 2,xxxexhexhexhy)()( 2)(22. 将222,yyy代入微分方程(7.3.3) ,注意到方程02qp和2p,化简后得:0)( xh.满足这个条件的函数无穷多, 取最简单的一个xxh)(,则微分方程( 7.3.3)另一个特解为xxey2,且21, yy线性无关 .故二阶常系数齐次线性微分方程(7.3.3)的通解为xexccy)(21(21,cc为任意常数)(7.3.6)(3)当042qp时,特征方程有一对共轭复根i1,i2其中2p,242pq. 因此,微分方程有两个特解xixieyey)(2)(1,.因为xieyy221,所以21, yy线性无关 . 为了便于在实数范围内讨
12、论问题,我们用欧拉公式找两个线性无关的实数解. 由欧拉公式xixeixsincos可得),sin(cos1xixeyx),sin(cos2xixeyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 12 页 - - - - - - - - - 根据齐次线性微分方程的解的叠加性定理,有,cos)(2121xeyyx.sin)(2121xeyyixxexcos和xexsin均为微分方程 (6.3.3)的解 . 而xxexexxcotsincos. 故二阶常系数齐次线性微分方程
13、(6.3.3)的通解为xexcxcy)sincos(21(21,cc为任意常数). (7.3.7)综上所述,求二阶常系数齐次线性微分方程(7.3.3)的通解,只须先求出其特征方程(7.3.4)的根,再根据特征根的不同情况,分别选用公式(7.3.5) 、 (7.3.6)或( 7.3.7) ,即可写出其通解 .上述求二阶常系数齐次线性微分方程(7.3.3)的通解的方法称为特征根法,其步骤为:(1)写出的特征方程;(2)求出特征根;(3)根据特征根的三种不同情况,分别用公式(7.3.5) 、 (7.3.6)或( 7.3.7)写出微分方程( 7.3.3)的通解 . 特征根法亦适用于求更高阶常系数齐次线
14、性微分方程的通解. 例 1 求方程043yyy的通解 . 解:特征方程为,0432特征根41,, 12所求通解为xxececy241(21,cc为任意常数) . 例 2 求方程02yyy的通解 . 解:特征方程为,0122特征根, 121所求通解为xexccy)(21(21,cc为任意常数) . 例 3 求方程0yyy的通解 . 解:特征方程为,012特征根,23212, 1i所求通解为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 12 页 - - - - - - -
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