考研数学必备知识框架考研数学公式手册随身看全.docx
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1、目 录一、高等数学1(一) 函数、极限、连续1(二) 一元函数微分学5(三)一元函数积分学13(四) 向量代数和空间解析几何20(五)多元函数微分学29(六)多元函数积分学35(七)无穷级数40(八)常微分方程48二、线性代数53(一) 行列式53(二)矩阵54(三) 向量57(四)线性方程组60(五)矩阵的特征值和特征向量62(六)二次型63三、概率论及数理统计66(一)随机事务和概率66(二)随机变量及其概率分布70(三)多维随机变量及其分布72(四)随机变量的数字特征75(五)大数定律和中心极限定理78(六)数理统计的根本概念79(七)参数估计81(八)假设检验84常常用到的初等数学公式
2、86平面几何91一、高等数学(一) 函数、极限、连续考试内容公式、定理、概念函数和隐函数函数:设有两个变量和,变量的定义域为,假如对于中的每一个值,根据肯定的法那么,变量有一个确定的值及之对应,那么称变量为变量的函数,记作:根本初等函数的性质及其图形,初等函数,函数关系的建立:根本初等函数包括五类函数:1幂函数:;2指数函数(且);3对数函数:( 且);4三角函数:如等;5反三角函数:如等.初等函数:由常数和根本初等函数经过有限次四那么运算及有限此复合步骤所构成,并可用一个数学式子表示的函数,称为初等函数.数列极限及函数极限的定义及其性质,函数的左极限及右极限123(保号定理),无穷小和无穷大
3、的概念及其关系,无穷小的性质及无穷小的比较是同阶无穷小, 无穷小的性质(1) 有限个无穷小的代数和为无穷小(2) 有限个无穷小的乘积为无穷小(3) 无穷小乘以有界变量为无穷小Th 在同一变更趋势下,无穷大的倒数为无穷小;非零的无穷小的倒数为无穷大极限的四那么运算(1);极限存在的两个准那么:单调有界准那么和夹逼准那么,两个重要极限:1 2单调有界定理:单调有界的数列必有极限3两个重要极限: 重要公式:4几个常用极限特例 函数连续的概念:函数连续点的类型:初等函数的连续性:闭区间上连续函数的性质连续函数在闭区间上的性质:(1) (连续函数的有界性)设函数在上连续,那么在上有界,即常数,对随意的,
4、恒有 .(2) (最值定理)设函数在上连续,那么在上至少获得最大值及最小值各一次,即使得:;.(3) (介值定理)假设函数在上连续,是介于及(或最大值及最小值)之间的任一实数,那么在上至少一个,使得(4) (零点定理或根的存在性定理)设函数在上连续,且,那么在内至少一个,使得(二) 一元函数微分学考试内容对应公式、定理、概念导数和微分的概念左右导数导数的几何意义和物理意义1:1 或 22函数在处的左、右导数分别定义为:左导数: 右导数: 函数的可导性及连续性之间的关系,平面曲线的切线和法线Th1: 函数在处可微在处可导Th2: 假设函数在点处可导,那么在点处连续,反之那么不成立.即函数连续不肯
5、定可导.Th3: 存在导数和微分的四那么运算,初等函数的导数,四那么运算法那么:设函数,在点可导那么(1) (2) (3) 根本导数及微分表(1) 常数 (2) (为实数) (3) 特例 (4) 特例 (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) 复合函数,反函数,隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法,1反函数的运算法那么: 设在点的某邻域内单调连续,在点处可导且,那么其反函数在点所对应的处可导,并且有2复合函数的运算法那么:假设在点可导,而在对应点()可导,那么复合函数在点可导,且3隐函数导数的求法一般有三种方法:(1)方程两
6、边对求导,要记住是的函数,那么的函数是,等均是的复合函数.对求导应按复合函数连锁法那么做.知 ,其中,分别表示对和的偏导数(3)利用微分形式不变性高阶导数,一阶微分形式的不变性,常用高阶导数公式123456莱布尼兹公式:假设均阶可导,那么 ,其中,微分中值定理,必达法那么,泰勒公式Th1(费马定理)假设函数满意条件:(1)函数在的某邻域内有定义,并且在此邻域内恒有或,(2) 在处可导,那么有 Th2 (罗尔定理) 设函数满意条件:(1)在闭区间上连续;(2)在内可导,那么在内一个,使 Th3 (拉格朗日中值定理) 设函数满意条件:(1)在上连续;(2)在内可导;那么在内一个,使 Th4 (柯西
7、中值定理) 设函数,满意条件:(1)在上连续;(2)在内可导且,均存在,且那么在内一个,使 洛必达法那么:法那么 (型)设函数满意条件: ; 在的邻域内可导(在处可除外)且;存在(或).那么法那么 (型)设函数满意条件:;一个,当 时,可导,且;存在(或).那么法那么(型) 设函数满意条件:; 在 的邻域内可导(在处可除外)且;存在(或).那么同理法那么(型)仿法那么可写出泰勒公式: 设函数在点处的某邻域内具有阶导数,那么对该邻域内异于的随意点,在及之间至少一个,使得 其中 称为在点处的,那么阶泰勒公式(1)其中 ,在0及之间.(1)式称为麦克劳林公式常用五种函数在处的泰勒公式 或 或 或 或
8、 或 函数单调性的判别,函数的极值,函数的图形的凹凸性,拐点及渐近线,用函数图形描绘函数最大值和最小值,1函数单调性的推断:Th1设函数在区间内可导,假如对,都有或,那么函数在内是单调增加的或单调削减Th2 取极值的必要条件设函数在处可导,且在处取极值,那么.Th3 取极值的第一充分条件设函数在的某一邻域内可微,且或在处连续,但不存在.(1)假设当经过时,由“+变“-,那么为极大值;(2)假设当经过时,由“-变“+,那么为微小值;(3)假设经过的两侧不变号,那么不是极值.Th4 (取极值的第二充分条件)设在点处有,且,那么 当时,为极大值;当时,为微小值.注:假如,此方法失效.2渐近线的求法:
9、(1)程度渐近线 假设,或,那么称为函数的程度渐近线.(2)铅直渐近线 假设,或,那么称为的铅直渐近线.(3)斜渐近线 假设,那么称为的斜渐近线3函数凹凸性的推断:Th1 (凹凸性的判别定理假设在I上或,那么在I上是凸的或凹的.Th2 (拐点的判别定理1)假设在处,或不存在,当变动经过时,变号,那么为拐点.Th3 (拐点的判别定理2)设在点的某邻域内有三阶导数,且,那么为拐点弧微分,曲率的概念,曲率半径1.弧微分:2.曲率:曲线在点处的曲率对于参数方程3.曲率半径:曲线在点处的曲率及曲线在点处的曲率半径有如下关系:(三)一元函数积分学考试内容对应公式、定理、概念原函数和不定积分的概念,不定积分
10、的根本性质根本性质1 为常数23求导: 或微分:4或 是随意常数根本积分公式 重要公式 定积分的概念和根本性质,定积分中值定理1 定积分的根本性质积分上限的函数及其导数,牛顿莱布尼兹公式Th1Th2Th3的原函数,那么不定积分和定积分的换元积分法及分部积分法1不定积分:分部积分法:选择u,dv的原那么:积分简洁者选作dv,求导简洁者选为u换元积分法:2 定积分换元法:,那么分部积分公式 3 定积分不等式证明中常用的不等式 (3)柯西不等式:有理函数,三角函数的有理式和简洁无理函数的积分,广义积分和定积分的应用1 三角函数代换函数含根式所作代换三角形示意图有理函数积分4 广义积分(1) 无穷限的
11、广义积分无穷积分(2) 无界函数的广义积分瑕积分(四) 向量代数和空间解析几何考试内容对应公式、定理、概念向量的概念,向量的线性运算,1.向量:既有大小又有方向的量,又称矢量.2.向量的模:向量.3.向量的坐标表示:假设向量用坐标表示,那么4向量的运算法那么:加减运算 设有矢量,那么.数乘运算 数乘运算矢量及一数量之积, 设,那么向量的数量积和向量积,向量的混合积,1矢量的数积点积,内积:矢量及的数量积设,那么2矢量的向量积叉积,外积:设有两个向量及,假设一个矢量,满意如下条件1;2,即垂直于,所确定的平面;3,为矢量及的矢量积,记.设,那么3混合积:设有三个矢量,假设先作,的叉积,再及作点积
12、,那么这样的数积称为矢量,的混合积,记为,即设,那么两向量垂直、平行的条件,两向量的夹角,向量的坐标表达式及其运算,单位向量,方向数及方向余弦,1向量之间的位置关系及结论设,1;2;其中之中有一个为“0,如,应理解为;3,不共线不全为零的数使;4矢量及的夹角,可由下式求出;5,共面不全为零的数,使或者2单位向量:模为1的向量. 向量的单位向量记作,3向量的方向余弦:其中为向量及各坐标轴正向的夹角.4单位向量的方向余弦:明显,且有曲面方程和空间曲线方程的概念,平面方程,直线方程,平面及平面、平面及直线、直线及直线的以及平行、垂直的条件,点到平面和点到直线的间隔 1平面方程(1)一般式方程 ,法矢
13、量,假设方程中某个坐标不出现,那么平面就平行于该坐标轴,例如 平面轴(2)平面的点法式方程 为平面上点,为法矢量(3)三点式方程 ,为平面上的三个点(4)截距式方程 ,分别为平面上坐标轴上的截距,即平面通过三点 2直线方程一般式方程(两平面交线):平面及平面的法矢量分别为, , 直线的方向矢量为(2)标准式方程 为直线上点,为直线的方向矢量(3)两点式方程 其中,为直线上的两点(4)参数式方程 为直线上点,为直线的方向矢量3平面间的关系设有两个平面:平面:平面:(1)平面平面(2)平面平面(3)平面及平面的夹角,由下式确定 4平面及直线间关系直线平面:(1)(2)(3)及的夹角,由下式确定 5
14、直线间关系设有两直线:直线 直线(1)(2)(3)直线及的夹角,由下式确定 6点到平面的间隔 :到平面的间隔 为 7点到直线的间隔 :到直线间隔 为球面,母线平行于坐标轴的柱面,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程,常用的二次曲面方程及其图形,空间曲线的参数方程和一般方程,空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.准线为各种形式的柱面方程的求法(1) 准线为,母线轴的柱面方程为 ,准线为,母线轴的柱面方程为 ,准线为,母线轴的柱面方程为 .(2) 准线为,母线的方向矢量为的柱面方程的求法首先,在准线上任取一点,那么过点的母线方程为 其中为母线上任一点的流淌坐标,消去方程组 中的便得所求的柱面方程常见的柱面方
15、程名称方程图形圆柱面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面标准二次方程及其图形名称方程图形椭球面(均为正数)单叶双曲面(均为正数)双叶双曲面(均为正数)椭圆的抛物面(为正数)双曲抛物面(又名马鞍面)(均为正数)二次锥面 (为正数)(五)多元函数微分学考试内容对应公式、定理、概念多元函数的概念,二元函数的几何意义,二元函数的极限和连续的概念,二元函数连续,可导两偏导存在及可微三者的关系如下:可导可微函数连续“表示可推出用全微分定义验证一个可导函数的可微性,只需验证:有界闭区域上多元连续函数的性质,多元函数偏导数和全微分,全微分存在的必要条件和充分条件,根本原理多元复合函数、隐函数的求导法,二阶偏导数,方向导数
16、和梯度,1复合函数微分法注:复合函数肯定要设中间变量,抽象函数的高阶偏导数,其中间变量用数字1,2,3表示更简洁.2隐函数微分法来求解方向导数和梯度Th1设在处可微,那么在点沿随意方向 存在方向导数且在平面上除了用方向角表示外也可用极角表示:,此时相应的方向导数的计算公式为 Th2设三元函数在处可微,那么在点沿随意方向存在方向导数且有 梯度:在点的方向导数计算公式可改写成这里向量成为在点的梯度(向量)即沿梯度方向时,方向导数取最大值空间曲线的切线和法平面,曲面的切平面和法线,1 曲线的切线及法平面方程法线方程:2 空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程二元函数的二阶泰勒公式,多元函数的极值和条
17、件极值,多元函数的最大值、最小值及其简洁应用1多元函数的极值定义:假设对于该邻域内异于 (极大值) 2无条件极值解题程序:;3条件极值拉格朗日乘数法 解题程序:(六)多元函数积分学考试内容对应公式、定理、概念二重积分及三重积分的概念、性质、计算和应用1二重积分:几何意义:2三重积分:物理意义:3性质(只表达二重积分的性质,三重积分类似)(1)(2)(3)的构成子域且任两个子域没有重迭部分(5)比较定理(8)二重积分的对称性原理这特性质的几何意义见图(a)、(b)注:留意到二重积分积分域D的对称性及被积函数的奇偶性,一方面可削减计算量,另一方面可防止出过失,要特殊留意的是仅当积分域D的对称性及被
18、积函数的奇偶性两者兼得时才能用性质8.两类曲线积分的概念、性质及计算,两类曲线积分的关系,格林公式,平面曲线积分及途径无关的条件,1平面曲线积分及途径无关的四个等价条件设函数在单连通区域D上具有一阶连续偏导数,那么及途径无关为一简洁分段光滑封闭曲线存在函数使且2格林公式:设平面上的有界闭区域由分段光滑的曲线围成,函数在有连续的一阶偏导数,那么有或者二元函数全微分的原函数,两类曲面积分的概念、性质及计算,两类曲面积分的关系,高斯公式,斯托克斯公式,1高斯(Gauss)公式设是空间中的有界闭区域,由分块光滑的曲面所围成,函数在由连续的一阶偏导数,那么这里是的整个边界的外侧(即取外法向),是上点处的
19、外法向量的方向余弦.2斯托克斯公式设为分段光滑的又向闭曲线,是以为边界的分块光滑有向曲面,的正向及的侧(即法向量的指向)符合右手法那么,函数在包含的一个空间区域内有连续的一阶偏导数,那么有或散度和旋度的概念及计算,曲线积分和曲面积分的应用1散度的计算公式设均可导,那么在点处的散度为2旋度的计算公式设有矢量场,其中均有连续的一阶偏导数,那么旋度为:(七)无穷级数考试内容对应公式、定理、概念常数项级数的收敛及发散的概念,收敛级数的和的概念级数的根本性质及收敛的必要条件1级数的性质:注:添加或去消有限项不影响一个级数的敛散性.设级数收敛,那么对其各项随意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和几何级数及
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