不定积分表(26页).doc
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1、-Yz.Liu.2013.09卷终 公式表注解四基本不定积分表序言:微积分创立之初,牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论,但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上,莱布尼茨对之要求甚严,并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展,公式表逐渐全面,分类亦几乎覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要,亦是数学发展之必要结果。本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法,以及每个积分的简要推演方法,其中引入了除一般之换元法,凑微分法,分部积分法之外,亦引入虚数单位,并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用,或均
2、不在此给出推演方法,或仅以推演步骤简要之说明。本表收录公式16组,151式。公式一 基本初等函数的不定积分18式:幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数常数函数上述公式均为基本初等函数之不定积分,其中部分公式均可以由分部积分公式给出,特别的,对于正切函数,余切函数,正割函数与余割函数的不定积分,使用了诸多三角变换完成。公式二 含的积分(要指出非零)10式:对于其中的第二式,是利用换元积分完成的。对于第一者,可以利用凑的方式,我们考虑分式,则得其积分是显的:。而第二式依然采取类似的方式,可借由带余多项式除法算得:,然后利用第一个积分式即可得到结论。对于分母是二次多项式或者更高者,常常分成多个低
3、次多项式之和,这两个积分便是沿用了此结论所得到的。我们注意第一式中有,积分即得。对于第二式依然可用分离拆项的方式: ,然后积分即可,而一般对于拆项,常用待定系数的方法完成。公式三 含的积分9式第一式的证明用凑微分的方式即可完成。而有了第一式的结论,第二式可用分部积分完成计算。我们有:其中,对上式右侧的再次使用凑微分的方法,即可得解:同理利用分部积分可以将第三式拆开,并以第二式证明之。利用凑微分的方式,我们显然有不定积分,本组公式可以考虑用此公式,并使用分部积分即可证明一式:二式同理使用分部积分,并利用一式的结论即可证明。该公式是重要的不定积分之一,它可以解决一类带有的不定积分等式。但是该积分是
4、不好计算的,首先分部积分就不容易得出结果,而另一方面我们也无法进行一个显然的凑微分,因此对于这一类带有根号式的积分,往往是先强行换掉根号,再作观察。因此令,于是,显然看到的是这个不定积分的结果需要讨论的正负来决定之后使用的不定积分公式:如果是负的,那么显然会使用反三角,如果是正的,则可能使用三角换元:然后将带入上式得原积分。另外对于负的,有:即原积分。该不定积分公式对于负数的计算是很容易的。注意到微分公式,故上面公式均可以分部积分公式指出。公式四 含有的积分3式一式用凑微分的方式以及微分公式容易得出。第二式是利用分部积分公式给出的递推式的形式:通过这个递推关系逐步下降分母的幂直到一式的情形,然
5、后带入一式即可得解。三式是有理分式的不定积分,通常是将之拆分为两个容易计算的分式,则不难得出结果:公式五 含有的积分7式除开显然的不列为公式表所用之公式外,其余均与有关,不过在下面公式的推理中,我们可以肯定的是推理可能是不唯一的,因此某些推理也是可能涉及了该公式的。是一个需要分类讨论的积分。显然的可以发现这个被积函数的形式与反正切是有关的,不过反正切的分母是加法运算,因此如果这里是负的,那么就不能适用反正切,这导致了积分需要分类讨论之。该公式的证明中再一次的遇到了形式的不定积分,虽然这里我采用的是换元为三角函数的方法,而并非使用公式四中利用有理函数积分的性质来推理,但是三角换元计算不定积分是值
6、得深入探讨和学习的计算方法,也许在这个公式中体现不出来,但是在某些场合下,三角换元无疑是强大的。一式是显然的。在这组公式中,除了一式之外,后者在各种场合的运用还是相对频繁的。二式、三式都是典型的有理函数的不定积分问题,可以采取分离常数的方法来求解,其推理及其陈述如下:类似的对于之后的不定积分,依然可以拆项:但是对于最后一式,拆项显然是不理想的,分子也不具备变量以进行凑微分,因此从分母考虑:接着带入公式(45)即得所证。公式六 含有的积分2式先给出最基本的积分:该积分的证明需要分情形处理。一般来说,如果分母的二次式对应的二次方程是有根的,那么其不定积分可以考虑因式分解的方式拆分成两个分式之和,而
7、对于无实数解的情形,可以考虑配方的方式,并利用反三角函数的微分公式得到该不定积分的证明,不过在此我将使用另一种方式证明上述公式,我将在此引入虚数单位,并规定:这里的为的两根,则:如果,那么,则积分式即为否则为,则积分变为:这里值得注意的是辐角的取值问题,我们选择这个区间并考虑反正切表示,则这时候辐角中所给之复数必须保证实部恒正或恒负,但由判别式依然无法断言之正负,这对反正切的表示是不利的,因此考虑对辐角进一步转化,一个方便的方法是对分式上下乘以1个虚数单位,则:将该式与带入不定积分式,得:虽然此方法比较复杂,但是可以说明的是,以复数进行实数的不定积分是可能的。以拆项的方式来拆分为两个不定积分,
8、这是及其显然的:公式七 含有的积分14式含的不定积分,通常会考虑的变换是,特别是出现在分母中的根式,这样做的好处不但可以抵消根式,同时可以处理并约分掉分母中的积分变量,以大幅度化简积分运算。不过在很多时候,我们也常常考虑双曲换元来完成,这是因为对于正切与正割之间的关系式运算在某些时候没有双曲函数简便。下面几个公式都是可以通过换元得到的:第一式是典型的反双曲三角函数的微分,以及反双曲三角函数的定义式所得,事实上,我们设,因此对于第一个不定积分式,采用凑的方式即刻得之。二式也是典型的双曲换元得到的等式:其中,将回带,即得之所证。三、四均是由微分公式直接可推论的结果。然而如果对于三式没有直接观察到亦
9、不妨以双曲换元的得出:于是四式也可如法炮制:五式、六式可以凑得之:,再以分部积分得:这样就完成了五式和六式。一式三角换元是显然的。但值得注意的是双曲正弦与对数之间的关系是:二式以双曲换元得到积分,以降幂进行变形,所得积分的计算是容易的:在得出结果之后,再以(二)倍角公式将和还原为即得二式右侧。三式凑的方式即得其之所证。四式以分部积分,并二式,即得之所证。先以换元的方式将一式转化为三角积分或者双曲积分。转化三角积分时,以正切与正割的恒等式可得,转化双曲积时,以双曲正弦或双曲余弦的恒等式可得,最后以余割或双曲余割的积分得到结果。二式典型的转化为三角积分,这是典型的余割函数的导数公式。注意到,带入一
10、式。又注意到,带入(50)式。公式八 含的积分6式利用最值公式对分母配方,得:首配方,再凑微分,并公式(56),得:这里的推理虽然是相对复杂的,但是对于一些好算的数值计算,这个推理过程会得到大大的简化。在这两个积分的基础上,下面的积分相对是容易计算的:用凑微分的方式进行变换:剩下的计算是容易的。依然是配方,与(64)不同的是,根号下的加号变成了减号,从而适用反三角的表示。依然是配方,与(65)不同的是,根号下的加号变成了减号,从而适用反三角的表示。用凑微分的方式进行变换,其方法同于(66)。在(64)(67),(65)(68)和(66)(69)的比较中我们可以发现,对于任意非零的实数,除了后面
11、的对数部分外,其表示形式都是一样的,例如我们以(64)(67)为例,将两个公式和在一起写,并把对数部分写成对应的反三角形式的不定积分之后,则可以写成:其相似度可见一斑,那么我们将会询问这是为何。这里我将再度引入虚数单位,并规定其满足,借助欧拉公式和双曲三角函数的定义,我们考察正弦函数得到的是这样一个结果:,令之为并反解之,得的同时,也得到了另一个结果:,也就是说得到一个转化等式,这个结果是令人感到惊奇的,如果在上述积分中我们无视为正数之情形,并对负的直接使用反双曲的结果,同时引入虚数单位,根据负数的平方根等于其绝对值开根后与虚数单位作乘积这一规定,即得:这与直接使用反正弦的结果是一样的。这个结
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