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1、第一章三角函数4-1.1.1随意角(1)教学目的:要求学生驾驭用“旋转”定义角的概念,理解随意角的概念,学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角;并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边一样的角”的含义。教学重点:理解“正角”“负角”“象限角”“终边一样的角”的含义教学难点:“旋转”定义角课标要求:理解随意角的概念教学过程:一、引入 同学们在初中时,曾初步接触过三角函数,那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、讨论一些三角形中简洁的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容,在今后的学习中大家会发觉三角学有着极其丰富的内容,它可以简洁地解决很多数学问题,在中学数学中有着特别广泛的应用。二、
2、新课1回忆:初中是任何定义角的?(从一个点动身引出的两条射线构成的几何图形)这种概念的优点是形象、直观、简洁理解,但它的弊端在于“狭隘”师:初中时,我们已学习了0360角的概念,它是如何定义的呢?B O A 图1生:角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。师:如图1,一条射线由原来的位置OA,围着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB,就形成角。旋转开场时的射线OA叫做角的始边,OB叫终边,射线的端点O叫做叫的顶点。 师:在体操竞赛中我们常常听到这样的术语:“转体720o” (即转体2周),“转体1080o”(即转体3周);再如时钟快了5分钟,现要校正,需将分针
3、怎样旋转?假如慢了5分钟,又该如何校正?生:逆时针旋转300;顺时针旋转300.师:(1)用扳手拧螺母;(2)跳水运发动身体旋转说明旋转第二周、第三周,则形成了更大范围内的角,这些角明显超出了我们已有的相识范围。本节课将在已驾驭 角的范围根底上,重新给出角的定义,并讨论这些角的分类及记法2.角的概念的推广:(1)定义:一条射线OA由原来的位置OA,围着它的端点O按肯定方向旋转到另一位置OB,就形成了角。其中射线OA叫角的始边,射线OB叫角的终边,O叫角的顶点。3正角、负角、零角概念师:为了区分起见,我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,如图2中的角为正角,它等于300及7500;我们把按逆时
4、针方向旋转所形成的角叫正角,那么同学们猜猜看,负角怎么规定呢?零角呢?生:按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,假如一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角。师:如图3,以OA为始边的角=-1500,=-6600。特殊地,当一条射线没有作任何旋转时,我们也认为这是形成了一个角,并把这个角称为零角。师:好,角的概念经过这样的推广之后,就应当包括正角、负角、零角。这里还有一点要说明:为了简洁起见,在不引起混淆的前提下,“角”或“”可简记为. 4.象限角师:在今后的学习中,我们常在直角坐标系内讨论角,为此我们必需理解象限角这个概念。同学们已经经过预习,请一位同学答复什么叫:象限角? 生:角的顶点及
5、原点重合,角的始边及x轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。师:很好,从刚刚这位同学的答复可以知道,她已经根本理解了“象限角”的概念了。下面请大家将书上象限角的定义划好,同时思索这么三个问题:1.定义中说:角的始边及x轴的非负半轴重合,假如改为及x轴的正半轴重合行不行,为什么?2.定义中有个小括号,内容是:除端点外,请问课本为什么要加这四个字?3.是不是随意角都可以归结为是象限角,为什么?处理:学生思索片刻后答复,教师适时予以订正。答:1.不行,始边包括端点(原点);2端点在原点上;3不是,一些特殊角终边可能落在坐标轴上;假如角的终边落在坐标轴上,
6、就认为这个角不属于任一象限。师:同学们肯定要学会看数学书,特殊是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句,每个字都要弄清晰,这样的预习才是有效果的。师生讨论:好,根据象限角定义,图中的300,3900,-3300角,都是第一象限角;3000,-600角,都是第四象限角;5850角是第三象限角。师:很好,不过教师还有几事不明,要请教大家:(1)锐角是第一象限角吗?第一象限角是锐角吗?为什么?生:锐角是第一象限角,第一象限角不肯定是锐角;师:(2)锐角就是小于900的角吗?生:小于900的角可能是零角或负角,故它不肯定是锐角;师:(3)锐角就是00900的角吗? 生:锐角:|00900;00900的角
7、:|00900.学生练习(口答)已知角的顶点及坐标系原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指出它们是哪个象限的角?(1)4200;(2)-750;(3)8550;(4)-5100.答:(1)第一象限角;(2)第四象限角;(3)第二象限角;(4)第三象限角.5.终边一样的角的表示法师:视察下列角你有什么发觉? 390 -330 30 1470 -1770生:终边重合.师:请同学们思索为什么?能否再举三个及300角同终边的角?生:图中发觉3900,-3300及300相差3600的整数倍,例如,3900=3600+300,-3300=-3600+300;及300角同终边的角还有7500
8、,-6900等。师:好!这位同学发觉了两个同终边角的特征,即:终边一样的角相差3600的整数倍。例如:7500=23600+300;-6900=-23600+300。那么除了这些角之外,及300角终边一样的角还有:33600+300-33600+30043600+300-43600+300由此,我们可以用S=|=k3600+300,kZ来表示全部及300角终边一样的角的集合。师:那好,对于随意一个角,及它终边一样的角的集合应如何表示?生:S=|=+k3600,kZ,即任一及角终边一样的角,都可以表示成角及整数个周角的和。6.例题讲评例1 设, ,那么有(D )ABC( )D 例2用集合表示:(
9、1)各象限的角组成的集合(2)终边落在 轴右侧的角的集合解:(1) 第一象限角:|k360ok360o+90o,kZ第二象限角:|k360o+90ok360o+180o,kZ第三象限角:|k360o+180ok360o+270o,kZ第四象限角:|k360o+270ok360o+360o ,kZ(2)在 中, 轴右侧的角可记为 ,同样把该范围“旋转” 后,得 , ,故 轴右侧角的集合为 说明:一个角按顺、逆时针旋转 ( )后及原来角终边重合,同样一个“区间”内的角,按顺逆时针旋转 ( )角后,所得“区间”仍及原区间重叠例3 (1)如图,终边落在 位置时的角的集合是_|k360o+120o ,k
10、Z ;终边落在 位置,且在 内的角的集合是_45o,225o_ ;终边落在阴影局部(含边界)的角的集合是_|k360o45ok360o+120o ,kZ练习: (1)请用集合表示下列各角 间的角 第一象限角 锐角 小于 角解答(1) ; ;(2)分别写出:终边落在 轴负半轴上的角的集合;终边落在 轴上的角的集合;终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合;终边落在四象限角平分线上的角的集合解答(2) ; ;说明:第一象限角未必是锐角,小于 的角不肯定是锐角, 间的角,根据课本约定它包括 ,但不包含 例4在 间,找出及下列各角终边一样的角,并断定它们是第几象限角(1) ;(2) ;(3) 解:(1
11、) 及 角终边一样的角是 角,它是第三象限的角;(2) 及 终边一样的角是 ,它是第四象限的角;(3) 所以及 角终边一样的角是 ,它是第二象限角总结:草式写在草稿纸上,正的角度除以 ,按通常除去进展;负的角度除以 ,商是负数,它的肯定值应比被除数为其相反数时相应的商大1,以使余数为正值练习: (1)一角为 ,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_(2)集合M=k,kZ中,各角的终边都在(C )A轴正半轴上,B轴正半轴上,C 轴或 轴上,D 轴正半轴或 轴正半轴上(3)设 , C|= k180o+45o ,kZ , 则相等的角集合为_BD,CE_三.本课小结本节课我们学习了正角、负角和零角的
12、概念,象限角的概念,要留意假如角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限,本节课的重点是学习终边一样的角的表示法。推断一个角 是第几象限角,只要把 改写成 , ,那么 在第几象限, 就是第几象限角,若角 及角 合适关系: , ,则 、 终边一样;若角 及 合适关系: , ,则 、 终边互为反向延长线推断一个角全部象限或不同角之间的终边关系,可首先把它们化为: , 这种形式( ),然后只要考察 的相关问题即可另外,数形结合思想、运动变更观点都是学习本课内容的重要思想方法四.作业:4-1.1.1随意角(2)教学目的:要求学生驾驭用“旋转”定义角的概念,理解随意角的概念,学会在平面内建立适当的坐
13、标系来讨论角;并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边一样的角”的含义。教学重点:理解“正角”“负角”“象限角”“终边一样的角”的含义教学难点:“旋转”定义角课标要求:理解随意角的概念教学过程:一、复习师:上节课我们学习了角的概念的推广,推广后的角分为正角、负角和零角;另外还学习了象限角的概念,下面请一位同学叙述一下它们的定义。生:略师:上节课我们还学习了全部及角终边一样的角的集合的表示法,板书S=|=+k3600,kZ这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广,解决一些简洁问题。二、例题选讲例1写出及下列各角终边一样的角的集合S,并把S中合适不等式-36007200的元素写出来:(1)60
14、0;(2)-210;(3)363014,解:(1)S=|=600+k3600,kZS中合适-36007200的元素是600+(-1)3600=-3000600+03600=600600+13600=4200.(2)S=|=-210+k3600,kZ S中合适-36007200的元素是-210+03600=-210-210+13600=3390-210+23600=6990说明:-210不是00到3600的角,但仍可用上述方法来构成及-210角终边一样的角的集合。(3)S=|=363014,+k3600,kZS中合适-36007200的元素是363014,+(-2)3600=-356046,36
15、3014,+(-1)3600=3014,363014,+03600=363014,说明:这种终边一样的角的表示法特别重要,应娴熟驾驭。例2写出终边在下列位置的角的集合(1)x轴的负半轴上;(2)y轴上分析:要求这些角的集合,根据终边一样的角的表示法,关键只要找出符合这个条件的一个角即,然后在后面加上k3600即可。解:(1)在0360间,终边在x轴负半轴上的角为1800,终边在x轴负半轴上的全部角构成的集合是|=1800+k3600,kZ (2)在0360间,终边在y轴上的角有两个,即900和2700,及900角终边一样的角构成的集合是S1=|=900+k3600,kZ 同理,及2700角终边
16、一样的角构成的集合是S2=|=2700+k3600,kZ 提问:同学们思索一下,能否将这两条式子写成统一表达式?师:一下子可能看不出来,这时我们将这两条式子作一简洁变更:S1=|=900+k3600,kZ =|=900+2k1800,kZ (1)S2=|=2700+k3600,kZ =|=900+1800+2k1800,kZ =|=900+(2k+1)1800,kZ (2)师:在(1)式等号右边后一项是1800的全部偶数(2k)倍;在(2)式等号右边后一项是1800的全部奇数(2k+1)倍。因此,它们可以合并为1800的全部整数倍,(1)式和(2)式可统一写成900+n1800(nZ),故终边
17、在y轴上的角的集合为S= S1S2 =|=900+2k1800,kZ |=900+(2k+1)1800,kZ =|=900+n1800,nZ 处理:师生讨论,教师板演。提问:终边落在x轴上的角的集合如何表示?终边落在坐标轴上的角的集合如何表示?(思索后)答:|=k1800,kZ ,|=k900,kZ 进一步:终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示?答:|=450+n1800,nZ 推广:|=+k1800,kZ ,有何关系?(图形表示)处理:“提问”由学生作答;“进一步”教师引导,学生作答;“推广”由学生归纳。例1 若是第二象限角,则,分别是第几象限的角?师:是第二象限角,如何表示?解
18、:(1)是第二象限角,900+k36001800+k3600(kZ) 1800+k720020,试指出所在的象限,并用图形表示出的取值范围. 4、求证角为第三象限角的充分必要条件是证明:必要性:是第三象限角,充分性:sin0,是第三或第四象限角或终边在轴的非正半轴上tan0,是第一或第三象限角.sin0,tan0都成立.为第三象限角.5 求值:sin(-1320)cos1110+cos(-1020)sin750+tan495三、 稳固及练习1 求函数的值域2 设a是第二象限的角,且的范围.四、小 结: 五、课后作业:1、利用单位圆中的三角函数线,确定下列各角的取值范围:(1) sincos;
19、(2) |sin|cos| .2、3、角的终边上的点P及A(a,b)关于x轴对称,角的终边上的点Q及A关于直线y=x对称.求sinesc+tancot+seccsc的值.六、板书设计:4-1.2.2同角三角函数的根本关系(1)教学目的:学问目的: 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的根本关系式; 2.驾驭三种根本关系式之间的联络;3.娴熟驾驭已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。实力目的: (1)坚固驾驭同角三角函数的八个关系式,并能敏捷运用于解题,进步学生分析、解决三角的思维实力;(2)敏捷运用同角三角函数关系式的不同变形,进步三角恒等变形的实力; 德育目的:训练三角恒等变形的实力,进一步树立化归思想方法;教学重点:同角三角函数的根本关系式教学难点:三角函数值的符号确实定,同角三角函数的根本关系式的变式应用授课类型:新授课教学形式:启发、诱导发觉教学.教 具:多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:1随意角的三角函数定义:设角是一个随意角,终边上随意一点,它及原点的间隔 为,那么:2当角分别在不同的象限时,sin、cos、tg
限制150内