三角形四心与向量典型问题分析学生版(3页).doc
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1、-三角形四心与向量典型问题分析学生版-第 3 页三角形四心与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体,有方向,大小,双重性,不能比较大小。在高中数学“平面向量”的学习中,一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算;另一方面,我们又以向量为工具,运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。在平面向量的应用中,用平面向量解决平面几何问题时,首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示,然后选择适当的基底向量,将相关向量表示为基向量的线性组合,把问题转化为基向量的运算问题,最后将运算的结果再还原为几何关系。下面就以三角形的四心为出发点,应用向量相关知识,巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质
2、。既学习了三角形四心的一些特定性质,又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。一、四心的概念介绍(1)重心中线的交点:重心将中线长度分成2:1;(2)垂心高线的交点:高线与对应边垂直;(3)内心角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4)外心中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。二、典例析解(一)、“重心”的向量风采图【命题1】 已知是所在平面上的一点,若,则是的重心如图.【命题2】 已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,则的轨迹一定通过的重心.M图(二)、“垂心”的向量风采图【命题3】 是所在平面上一点,若,则是的垂心如图.图
3、【命题4】 已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,则动点的轨迹一定通过的垂心(三)、“内心”的向量风采【命题5】 已知为所在平面上的一点,且, 若,则是的内心图图【命题6】 已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,则动点的轨迹一定通过的内心(四)、“外心”的向量风采【命题7】 已知是所在平面上一点,若,则是的外心图图【命题7】 已知是平面上的一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,则动点的轨迹一定通过的外心。尝试练习:1已知三个顶点及平面内一点,满足,若实数满足:,则的值为( )A2 B C3 D62若的外接圆的圆心为O,半径为1,则( )A B0 C1 D3点在内部且满足,则面积与凹四边形面积之比是( )A0 B C D4的外接圆的圆心为O,若,则是的( )A外心 B内心 C重心 D垂心 5是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,若,则是的( )A外心 B内心 C重心 D垂心
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