高中数学的数形结合思想方法全讲解例题巩固测试.doc
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1、数形结合思想方法(1)-讲解篇一、 知识要点概述数与形是数学中两个最古老、最根本元素,是数学大厦深处两块基石,所有数学问题都是围绕数和形提炼、演变、开展而展开:每一个几何图形中都蕴藏着一定数量关系,而数量关系又常常可以通过图形直观性作出形象描述。因此,在解决数学问题时,常常根据数学问题条件和结论之间内在联系,将数问题利用形来观察,提示其几何意义;而形问题也常借助数去思考,分析其代数含义,如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来,并充分利用这种“结合,寻找解题思路,使问题得到解决方法,简言之,就是把数学问题中数量关系和空间形式相结合起来加以考察处理数学问题方法,称之为数形结合思想方法。数形结合是一
2、个数学思想方法,包含“以形助数和“以数辅形两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形生动和直观性来说明数之间联系,即以形作为手段,数为目,比方应用函数图像来直观地说明函数性质;或者是借助于数准确性和标准严密性来说明形某些属性,即以数作为手段,形作为目,如应用曲线方程来准确地说明曲线几何性质。数形结合思想,其实质是将抽象数学语言与直观图像结合起来,关键是代数问题与图形之间相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算几何意义以及曲线代数特征,对数学题目中条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设
3、参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数取值范围。二、 解题方法指导1转换数与形三条途径: 通过坐标系建立,引入数量化静为动,以动求解。 转化,通过分析数与式构造特点,把问题转化到另一个角度来考虑,如将转化为勾股定理或平面上两点间距离等。 构造,比方构造一个几何图形,构造一个函数,构造一个图表等。2运用数形结合思想解题三种类型及思维方法:“由形化数 :就是借助所给图形,仔细观察研究,提示出图形中蕴含数量关系,反映几何图形内在属性。“由数化形 :就是根据题设条件正确绘制相应图形,使图形能充分反映出它们相应数量关系,提示出数与式本质特征。“数形转换 :就是根据“
4、数与“形既对立,又统一特征,观察图形形状,分析数与式构造,引起联想,适时将它们相互转换,化抽象为直观并提示隐含数量关系。三、 数形结合思想方法应用(一) 解析几何中数形结合解析几何问题往往综合许多知识点,在知识网络交汇处命题,备受出题者青睐,求解中常常通过数形结合思想从动态角度把抽象数学语言与直观几何图形结合起来,到达研究、解决问题目. 1. 与斜率有关问题【例1】:有向线段PQ起点P与终点Q坐标分别为P-1,1,Q2,2.假设直线lx+my+m=0与有向线段PQ延长相交,求实数m取值范围. 解:直线l方程x+my+m=0可化为点斜式:y+1=-x-0,易知直线l过定点M0,-1,且斜率为-.
5、 l与PQ延长线相交,由数形结合可得:当过M且与PQ平行时,直线l斜率趋近于最小;当过点M、Q时,直线l斜率趋近于最大. 【点评】含有一个变量直线方程可化为点斜式或化为经过两直线交点直线系方程.此题是化为点斜式方程后,可看出交点M0,-1和斜率-.此类题目一般结合图形可判断出斜率取值范围. 2. 与距离有关问题【例2】求:y=cos-cos+32+sin-sin-22最大小值.【分析】可看成求两动点Pcos,sin与Qcos-3,sin+2之间距离最值问题. 解:两动点轨迹方程为:x2+y2=1和x+32+y-22=1,转化为求两曲线上两点之间距离最值问题.如图: 3. 与截距有关问题【例3】
6、假设直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点,求k取值范围. 解:曲线x=是单位圆x2+y2=1右半圆x0,k是直线y=x+k在y轴上截距. 由数形结合知:直线与曲线相切时,k=-,由图形:可得k=-,或-1k1. 4. 与定义有关问题【例4】求抛物线y2=4x上到焦点F距离与到点A3,2距离之和为最小点P坐标,并求这个最小值.【分析】要求PA+PF最小值,可利用抛物线定义,把PF转化为点P到准线距离,化曲为直从而借助数形结合解决相关问题. 解:P是抛物线y2=4x上任意一点,过P作抛物线准线l垂线,垂足为D,连PFF为抛物线焦点,由抛物线定义可知:. 过A作准线l垂线,交抛物线于P,垂足为Q,
7、显然,直线AQ之长小于折线APD之长,因而所求点P即为AQ与抛物线交点. AQ直线平行于x轴,且过A3,2,所以方程为y=2,代入y2=4x得x=1. P1,2与F、A距离之和最小,最小距离为4.【点评】 1化曲线为直线是求距离之和最有效方法,在椭圆,双曲线中也有类似问题. 2假设点A在抛物线外,那么点P即为AF与抛物线交点内分AF. (二)数形结合在函数中应用 1. 利用数形结合解决与方程根有关问题方程解问题可以转化为曲线交点问题,从而把代数与几何有机地结合起来,使问题解决得到简化.【例5】方程x2-4x+3=m有4个根,那么实数m取值范围 .【分析】此题并不涉及方程根具体值,只求根个数,而
8、求方程根个数问题可以转化为求两条曲线交点个数问题来解决. 解:方程x2-4x+3m根个数问题就是函数y=x2-4x+3与函数y=m图象交点个数. 作出抛物线y=x2-4x+3=x-22-1图象,将x轴下方图象沿x轴翻折上去,得到y=x2-4x+3图象,再作直线y=m,如下图:由图象可以看出,当0m1时,两函数图象有4交点,故m取值范围是0,1. 数形结合可用于解决方程解问题,准确合理地作出满足题意图象是解决这类问题前提. 2. 利用数形结合解决函数单调性问题 函数单调性是函数一条重要性质,也是高考中热点问题之一.在解决有关问题时,我们常需要先确定函数单调性及单调区间,数形结合是确定函数单调性常
9、用数学思想,函数单调区间形象直观地反映在函数图象中.【例6】确定函数y=单调区间. 画出函数草图,由图象可知,函数单调递增区间为-,0,1,函数单调递减区间为0,1. 3. 利用数形结合解决比拟数值大小问题【例7】定义在R上函数y=fx满足以下三个条件:对任意xR都有fx+4=fx;对任意0x1x22,都有fx1fx2;y=fx+2图象关于y轴对称.那么f4.5,f6.5,f7大小关系是 . 解:由:T=4;由:fx在,上是增函数;由:fxfx,所以fx图象关于直线x=2对称.由此,画出示意图便可比拟大小. 显然,f4.5f70. y=fxgx在区间a,babax解集是x|0ax解集是x|0x
10、4, 即要求半圆在直线上方,由图可知a0,所以选. 【点评】 此题很好表达了数形结合思想在解题中妙用. 【例10】 假设x,时,不等式x-12logax恒成立,那么a取值范围是. . 0,1. , . ,. , 解:设y1=x121x2,y2=logax. 由图可知假设y1y21x1. y1=x-12过,点,当y2=logax也过,点,即a=2时,恰有y1y21x2 a2时x-120,那么不等式xfx0解集是. . x|0xa . x|-axa . x|-axa . x|x-a或0x0,可得到fx图象,又由xfx0,可知x与fx异号,从图象可知,当x-a,a,+时满足题意,应选.【例12】 设
11、函数fx2,求使fx取值范围.【解法】由fx得2. 易求出gx和hx图象交点立时,x取值范围为,+. 【解法3】 由几何意义可设1,x,y,那么,可知轨迹是以1、为焦点双曲线右支,其中右顶点为,由双曲线图象和x+1x-1知x.【点评】 此题三种解法都是从不同角度构造函数或不等式几何意义,让不等式解集直观地表现出来,表达出数形结合思想,给我们以“柳暗花明解题情境.四运用数形结合思想解三角函数题 纵观近三年高考试题,巧妙地运用数形结合思想方法来解决一些问题,可以简化计算,节省时间,提高考试效率,起到事半功倍效果.【例13】函数fx=sinx+2sinx,x,图象与直线y=k有且仅有个不同交点,那么
12、k取值范围是 .【分析】此题根据函数解析式,画出图象,可以直观而简明地得出答案,在有时间限制高考中就能大大地节约时间,提高考试效率. 解:函数fx由图象可知:1k3.【例14】当0x时,函数fx最小值为. . . . . 解:y=那么y为点,与点sin2x,3cos2x两点连线斜率,又点轨迹方程0,即x2+x0,如图,当过点直线ly=kx+5与椭圆x2+x0相切时,k有最小值,应选. 【例15】假设sin+cos=tan0,那么. 解:令fx=sinx+cosx=sinx+ 0.再令,那么sin+cos=.366,tan=1.7321.367,由图象知xP应小于.应选. 【点评】 此题首先构造
13、函数fx,gx,再利用两个函数图象交点位置确定,淘汰了、两选项,然后又用特殊值估算,结合图象确定选项,起到了出奇制胜效果.【例16】 函数fx是定义在,上奇函数,当0x3时fx图象如以下图所示,那么不等式fxcosx0解集是. 解:函数fx定义在,上,且是奇函数,根据奇函数图象性质可知,fx在,上图象如下图,假设使fxcosx1时,关于x方程ax=logax无实解.正确与否. 错解:在同一坐标系中分别作出函数y=ax及y=logax图象a1如图1,可见它们没有公共点,所以方程无实解,命题正确. 【评析】 实际上对不同实数a,y=ax和y=logax图象延伸趋势不同.例如当a=2时,方程无实数解
14、;而当a=时,x=2是方程解.说明两图象向上延伸时,一定相交,交点在直线y=x上.2、注意图象伸展“速度【例20】比拟2n与n2大小,其中n2,且nN+. 错解:在同一坐标系中分别作出函数y=2x及y=x2图象如图2. 由图可知,两图象有一个公共点. 当x=2时,2x=x2; 当x2时,2x2,且nN+时,2nn2.错因是没有充分注意到两个图象在x2时递增“速度!要比拟两个图象递增速度,确实很难由图象直观而得.此题可以先猜测,后用数学归纳法证明.此题正确答案是 当n=2、4时,2n=n2; 当n=3时,2nn2. 证明略.3、注意数形等价转化【例21】方程x2+2kx-3k=0有两个实数在-1
15、与3之间,求k取值范围. 错解:令fx=x2+2kx-3k,结合题意画出图象3中1,再由图象列出不等 解略.【评析】 事实上,不等式组*并不与题意等价,图象3中2也满足不等式组*,但两实根均大于3,还可以举出两实根均小于-1反例.假设不等式组*与图3中1等价,需加上条件-3kb0有四组实数解,求a、b、m应满足关系. 错解:方程组中两个方程分别是椭圆和抛物线方程,原方程组有四组实数解等价于椭圆与抛物线有四个不同公共点.由图4知,m-b,且a,即-a2m-b. 【评析】 观察图象过于草率!事实上,图5也是一种可能情形,即当=a时,仍有可能为四组解.例如当a=2,b=1,m=-4时,可得解集为:,
16、. 现用数形结合求解: 考虑一元二次方程 a2y2+b2y-m+a2b2=0, 令=0即相切情形, 解得m=-, 结合图象, 注意到m-b,那么a、b、m应满足关系是-m0时示意图. 视角二:由m0,先将原方程变形,得x-1=x,再视方程x-1=x两边代数式为两个函数,分别画出函数y=x-1,y=x图象如图2,由图易看出: 当01或-10,即m1时,图象有两个不同交点,此时原方程有两个相异实根. 视角三:用别离参数法,先将原方程化为=m. 分别作出函数y=,y=m图象如图3,由图易看出,当m1时,两函数图象有两个不同交点,此时原方程有两个相异实根. 视角四:用别离参数法,先将原方程化为. 当x
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