2022年待定系数法求二次函数解析式 .pdf
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1、我快乐,我学习;我学习,我快乐liulao jiunianji gaoxiaodianbo1待定系数法求二次函数解析式(讲义)一、【基础知识精讲】( 一) 、中考导航图1. 二次函数的 意义 ;2. 二次函数的 图象;3. 二次函数的 性质顶点对称轴开口方向增减性顶点式: y=a(x-h)2+k(a 0) 4. 二次函数待定系数法确定函数解析式一般式: y=ax2+bx+c(a 0) 两根式: y=a(x-x1)(x-x2)(a 0) 5. 二次函数与一元二次方程的关系。6. 抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与 a、b、c 之间的关系。(二) 、中考知识梳理 1.二次函数的图象在画二次函数
2、y=ax2+bx+c(a 0) 的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b2a)2+ 4a24ac-b的形式 , 先确定顶点 (-b2a,4a24ac-b), 然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a 的符号来确定 , 当 a0 时, 在对称轴左侧y 随 x 的增大而减小 ; 在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而增大 ; 简记左减右增 , 这时当 x=-b2a时,y最小值=4a24ac-b; 反之当 a0 时, 抛物线开口向上; 当 a0 时, 抛物线交y 轴于正半轴 ; 当 c0 时, 抛物线交y 轴于负半名师资料总结 - - -精
3、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - 我快乐,我学习;我学习,我快乐liulao jiunianji gaoxiaodianbo2轴;b 的符号由对称轴来决定. 当对称轴在y?轴左侧时 ,b 的符号与a 的符号相同 ; 当对称轴在y 轴右侧时,b 的符号与 a 的符号相反 ;? 简记左同右异 . 6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,? 应用数形结合思想来解决有关的综合性问题 .二、 【典型例题精析】一般式:例 1 已知二次函数
4、的图象经过A(-1,3)、B(1,3) 、C(2,6);求它的解析式。分析 : 此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式. 可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式 , 列出方程或方程组来求解. 解: 设解析式为y=ax2+bx+c, 把 A(-1,3)、B(1,3) 、C(2,6) 各点代入上式得3,3,642.abcabcabc解得1,0,2.abc解析式为y=x2+2. 变式: 已知一个二次函数,当x=-1 时, y=3;当 x=1 时, y=3;当 x=2 时,y=6。求这个二次函数的解析式。解: 设解析式为y=ax2+bx+c, 把 A(-1,3)、B(1,3) 、C(2,6
5、) 各点代入上式得3,3,642.abcabcabc解得1,0,2.abc解析式为y=x2+2.顶点式:例 2 已知一个二次函数的图象过点(0 , 1) ,它的顶点坐标是(8 ,9) ,求这个二次函数的关系式。分析:二次函数yax2bx c 通过配方可得ya(x h)2k 的形式称为顶点式,( h,k) 为抛物线的顶点坐标,因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8,9) ,因此,可以设函数关系式为: y a(x8)29 由于二次函数的图象过点(0 ,1),将 (0 ,1)代入所设函数关系式,即可求出a 的值。请同学们完成本例的解答。变式 1: 已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函
6、数有最小值 -8 ,求它的解析式。解法 1: 由 A(-1,0)、 B(3,0) 得抛物线对称轴为x=1, 所以顶点为 (1,-8).? 设解析式为y=a(x-h)2+k, 即 y=a(x-1)2-8. 把 x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8, a=2. 即解析式为y=2(x-1)2-8, 即 y=2x2-4x-6. 解法 2: 设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为 (1,-8)同上 , 把 x=1,y=-8? 代入上式得 -8=a(1+1)(1-3).解得 a=2, 解析式为y=2x2-4x-6. 解法 3: 图象过A(-1,0),B(3,0)两点 , 可设解析式为
7、:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a. 函数有最小值-8. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - 我快乐,我学习;我学习,我快乐liulao jiunianji gaoxiaodianbo324 ( 3 )( 2 )4aaaa=-8. 又a 0, a=2. 解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6. 变式 2: 已知抛物线对称轴是直线x2,且经过 (3,1) 和(0 , 5) 两点,求二次函数
8、的关系式。解法 1: 设所求二次函数的解析式是yax2bxc,因为二次函数的图象过点(0 , 5) ,可求得 c 5,又由于二次函数的图象过点(3 ,1) ,且对称轴是直线x2,可以得b2a29a 3b6解这个方程组,得:a 2b 8所以所求的二次函数的关系式为y 2x28x5。解法二: 设所求二次函数的关系式为y a(x 2)2k,由于二次函数的图象经过(3 ,1) 和(0, 5) 两点,可以得到a(3 2)2k1a(0 2)2k 5解这个方程组,得:a 2k3所以,所求二次函数的关系式为y 2(x 2)2 3,即 y 2x28x 5。变式 3: 已知抛物线的顶点是(2 , 4) ,它与 y
9、 轴的一个交点的纵坐标为4,求函数的关系式。解法 1: 设所求的函数关系式为ya(x h)2 k,依题意,得ya(x 2)2 4 因为抛物线与y 轴的一个交点的纵坐标为4,所以抛物线过点(0 ,4) ,于是 a(0 2)2 44,解得a2。所以,所求二次函数的关系式为y2(x 2)24,即 y2x28x4。解法 2:设所求二次函数的关系式为yax2bxc?依题意,得b2a 24acb24a 4c4解这个方程组,得:a2b 8c4所以,所求二次函数关系式为y2x28x4。变式 4: 一条抛物线yxmxn142经过点()032,与()432,。求这条抛物线的解析式。分析:解析式中的a值已经知道,只
10、需求出mn ,的值。已知条件给出了两个点,因此,可以从二次函数的一般式入手列方程组解答。还可以从所给两点( , ),( ,)032432的特征入手:这两点关于抛物线的对称轴对称,因此可知对称轴是直线x2,这样又可以从抛物线的顶点式入手。解:抛物线yxmxn142经过点(032,)和( , )432,这条抛物线的对称轴是直线x2。设所求抛物线的解析式为yxh1422()。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - 我快乐,我学
11、习;我学习,我快乐liulao jiunianji gaoxiaodianbo4将点( ,)032代入,得1402322()h,解得h12。这条抛物线的解析式为yx142122(),即yxx14322。点评:当点 M (xy11,) 和 N (xy22,) 都是抛物线上的点时,若yy12, 则对称轴方程为xxx122,这一点很重要也很有用。两根式:例 3 已知二次函数的图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是6. 求它的解析式。解: 由顶点坐标 (-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1, 又图象与x 轴两交点的距离为6, 即 AB=6. 由抛物线的对称性可得A、 B两点坐标分别
12、为A(-4,0),B(2,0), 设出两根式y=a(x-x1) (x-x2), 将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8. 变式:已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别是x1= 3,x2=1,且与 y 轴交点为 (0, 3),求这个二次函数解析式。想一想 :还有其它方法吗?点评 : 一般地 , 已知三个条件是抛物线上任意三点( 或任意 3 对 x,y 的值 ) 可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;? 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值, 可选用y=a(x-h)2+k 来求解 ;若三个条件中已知抛物线与x 轴两交点坐标 ,则
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