初中数学解题技巧综合(例程)(40页).doc
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1、-初中数学解题技巧综合(例程)-第 40 页初中数学解题技巧综合一:基本的解题技巧初中数学解题技巧 (二次函数)I.定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0,且a决定函数的开口方向,a0时,开口方向向上,a0时,开口方向向上,a0时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。) 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量,y是x的函数 二次函数的三种表达式 一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0) 顶点式抛物线的顶点 P(h,k) :y=a
2、(x-h)2+k 交点式仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线:y=a(x-x1)(x-x2) 以上3种形式可进行如下转化: 一般式和顶点式的关系 对于二次函数y=ax2+bx+c,其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b2)/4a),即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b2)/4a 一般式和交点式的关系 x1,x2=-b(b2-4ac)/2a(即一元二次方程求根公式) 要掌握好一些常用的解题方法 数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。教师钻研习题、精通解题方法,可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材,练好解题的基本功,提高解题技巧
3、,积累教学资料,提高业务水平和教学能力。1、配方法所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。2、因式分解法因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式
4、法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R,a0)根的判别,=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程(组),解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个数的和与积,求
5、这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用。5、待定系数法在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,而后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。6、构造法在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,
6、这种解题的数学方法,我们称为构造法。运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透,有利于问题的解决。7、反证法反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不
7、等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。8、面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理,不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法,称为面积方法,它是几何中的一种常用方法。用归纳法或
8、分析法证明平面几何题,其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来,通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题,几何元素之间关系变成数量之间的关系,只需要计算,有时可以不添置补助线,即使需要添置辅助线,也很容易考虑到。9、几何变换法在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易。另一方面,也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研
9、究结合起来,有利于对图形本质的认识。几何变换包括:(1)平移;(2)旋转;(3)对称。选择题是给出条件和结论,要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧,形式灵活,可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能,从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。填空题是标准化考试的重要题型之一,它同选择题一样具有考查目标明确,知识复盖面广,评卷准确迅速,有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点,不同的是填空题未给出答案,可以防止学生猜估答案的情况。要想迅速、正确地解选择题、填空题,除了具有准确的计算、严密的推理外,还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。(1)直接推演
10、法:直接从命题给出的条件出发,运用概念、公式、定理等进行推理或运算,得出结论,选择正确答案,这就是传统的解题方法,这种解法叫直接推演法。(2)验证法:由题设找出合适的验证条件,再通过验证,找出正确答案,亦可将供选择的答案代入条件中去验证,找出正确答案,此法称为验证法(也称代入法)。当遇到定量命题时,常用此法。(3)特殊元素法:用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中去,从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。(4)排除、筛选法:对于正确答案有且只有一个的选择题,根据数学知识或推理、演算,把不正确的结论排除,余下的结论再经筛选,从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。(5)图解法:借助于符
11、合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断,作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。(6)分析法:直接通过对选择题的条件和结论,作详尽的分析、归纳和判断,从而选出正确的结果,称为分析法。 二:浅谈解题能力培养摘要:当今社会处于信息时代,数学教学也应适应时代的要求,走出课堂,走出题海,广泛涉猎资料,紧密贴近生活,着意提高学生的数学素养和知识应用能力因此,在数学教学中应鼓励学生阅读一道好题,一种妙解,一丝联系,一点变化都可能给你的解答带来简便.因此,培养学生的解题能力尤其显得重要.关键词:审题 解题能力 解题思路 解题策略 回顾与探讨数学解题能力是一种综合的能力,一般是指综合运用数学
12、基础知识、基本方法和逻辑思维规律,整体发挥数学的基本能力和思维水平,对数学问题进行分析、解决的能力。对于学生来说,其中包括了思维创造的能力。因此,在教学中,要提高学生的解题能力,除了抓好基础知识、基本能力的学习与培养外,更重要的培养途径就是解题实践,就是遵循科学的解题顺序、有目的、有计划地引导学生“在游泳中学会游泳”,在亲自参与的解题实践过程中,学会解题,从中获得能力。下面就围绕解题的一般程序,来讨论如何培养学生的解题能力。1、仔细、认真地审查题意的习惯。仔细、认真地审题,提高审题能力是解题的首要前提。因为审题为探索解题途径提供方向,为选择解法提供决策的依据。因此,教学中要求学生养成仔细、认真
13、的审题习惯,就是要对问题的条件、目标及有关的全部情况进行整体认识,充分理解题意,把握本质和联系,不断提高审题能力。具体地说,就是要做到以下四项要求:l 了解题目的文字叙述,清楚地理解全部条件和目标,并能准确地复述问题、画出必要的准确图形或示意图;l 整体考虑题目,挖掘题设条件的内涵、沟通联系、审清问题的结构特征。必要时,要会对条件或目标进行化简或转换,以利于解法的探索;l 发现比较隐蔽的条件;l 判明题型,预见解题的策略原则。以上具体要求中,前两项是基本的,后两项是较高的。事实上,审题能力主要体现在对题目的整体认识、对条件和目标的化简与转换以及发现隐蔽条件等方面的能力上。例1 已知 a, b,
14、 c都是实数,求证;2a-(b+c), 2b-(a+c), 2c-(b+c)三个数中至少有一个数不大于零,而且至少有一个数不少于零。如果审题中能考虑到“所证的三个数之和正好等于零”这一整体特征,则不难用反证法很容易地得出正确判断,使问题得到解决。例2 已知ABC,试求作一点P,使得PAB、PAC、PBC的面积相等。如果在审题中不注意P点的任意性,就会片面地、不自觉地增加条件“P点在ABC内”,从而求得唯一的一点P,即ABC的重心。这就改变了原题的题意。事实上,若在平面上,P点的位置还可以有三个:分别以ABC两相邻边为邻边的平行四边形顶点。若在空间,P点的位置就更多了。例3 在实数范围内解方程:
15、|x-2|+=3审查题意就要从题目的特征含有绝对值和算术根符号中,善于发现隐含条件。即 1-x0, x1.有了这一条件,就可以将原方程转化为 2-x+=3, 即=x+1.这样就成为标准的无理方程,它的解法是学生熟悉的。 2、分析解题思路、探求解题途径,发现解题规律、掌握解题方法是培养学生解题能力的核心和关键。一个正确的解题途径、一条正确的解题思路的形成过程是比较复杂的,它涉及到学生的基础知识水平、解题经验和解题能力等因素。虽然就其思维形式而言,只有由因导果和执果索因的综合法和分析法两种,但就探索解题途径的策略、方法和技巧等问题而言,确是丰富多彩、千变万化和灵活多样的。因此,分析思路、探求途径是
16、解题教学的重点,也是提高学生解题能力的核心、关键所在。这就要求我们教师在教学中做好以下几方面的工作:(1)帮助学生掌握解题的科学程序。就是把整个解题过程分为前述的四个程序进行。掌握了这个科学程序,使解题过程程序化,就能使学生对解题总过程有一个有序框架,形成一种思维定势和化归的趋势,做到目标清楚、思维方向明确。为此,在教学中对于所有例题的讲解及示范解题,都要充分展现解题过程的四个程序及每个程序进行的过程,并且不断给以总结、反复强调。使学生在日积月累的熏陶中去掌握解题程序,领悟各程序中思维的方向和思维的进程。当然,这样做就必须要求教师事先要对例题的选取和设计进行深入研究,对例题的目的意图、隐含条件
17、的析取、干扰信息的排除、思维偏差的纠正、解题策略的制定、解题关键的把握以及解题后的开拓和引申等都要做到心中有数。只要这样,才能避免就题论题、就事论事、无法展现思维过程的形式主义教学,从而真正达到解题教学的要求。(2)帮助学生掌握解题的策略原则。探索解题途径,主要是根据审题提供的依据,制定解题策略,探索解题方向(转化命题是关键),沟通靠拢条件,把所面临的问题逐步靠拢和转化为既定解法和程序的规范问题,然后利用已知的理论、方法和技巧,实现问题的解决。因此,在教学中,必须结合例题的示范教学,有计划、有目的地帮助学生掌握解决数学问题的策略原则,培养和提高学生的探索能力。(3)帮助学生掌握转化的数学方法。
18、在教学中结合例题教学,帮助学生掌握一些常用的变形手段和转化方法,帮助学生理解这些方法的原理,把握方法的要点、作用、使用条件、使用范围以及这些方法的“变式”,学会灵活运用。在初中数学中,除了上述的分析法、综合法、归纳法等推理方法外,常用的还有换元法,消元法,代定系数法等。3、理顺解题思路、严格依据逻辑规律表达出规范化的解题过程是培养学生良好的解题习惯的重要途径。一般来说,各种形式的数学习题都有一定的解答格式,解题中要严格按标准格式表达,当然,根据学生的不同学习阶段,标准格式的详略可以不尽相同,但逻辑顺序不能违反,证明推理中关键步骤的大前提必须表达清楚。这样做,可以培养和提高学生的逻辑思维能力和逻
19、辑表达能力,同时也有助于学生解题能力的提高。4、回顾与探讨解题过程,养成解题后的反思习惯,也是提高学生解题能力的基本途径。解题后的回顾与探讨、分析与研究就是对解题的结果和解题的方法进行反省,对解题中的主要思想观点、关键因素及类同问题的解法进行概括、推广,从而帮助学生从中提炼出数学的基本思想和基本方法加以掌握,成为以后解新的问题时的有力工具。因此,使学生养成解题后的反思习惯,是解题教学非常重要的一环,必须十分重视。解题后的回顾,包括检验结果、讨论解法和推广三个方面。(1)检验结果。主要是核查结果是否正确无误,推理是否有据,解答是否详尽无漏。(2)讨论解法。主要是改进解法或寻求其它不同的解法;分析
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