同余法解题(5页).doc
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1、-同余法解题-第 5 页五年级奥数培训资料第六讲 同余法解题 一、 同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。同余的定义是这样的: 两个整数,a,b,如果他们同时除以一个自然数m,所得的余数相同,则称a,b对于模m同余。记作ab(mod.m)。读作:a同余于b模m。 同余的性质也比较多,主要有以下一些:1.对于同一个除数,两个数的乘积与它们余数的乘积同余。例如20195的乘积对于除数7,与2017的余数5和957的余数4的乘积20对于7同余。2.对于同一个除数,如果有两个整数同余,那么它们的差就一定能被这个除数整除。例如519和399对于一个除数同余,那么这个除数一定是519与399的差的因数
2、,即519与399的差一 定能被这个除数整除。3.对于同一个除数,如果两个数同余,那么他们的乘方仍然同余。 例如20和29对于一个除数同余,那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余,当然余数大小随次方变化。4对于同一个除数,若三个数ab(mod m),bc(mod m),那么a,b,c三个数对于除数m都同余 (传递性)例如60和76同余于模8,76和204同余于模8,那么60,76,204都同余于模8。5. 对于同一个除数, 若四个数ab(mod m),cd(mod m),那么accd(mod m),(可加减性)6. 对于同一个除数, 若四个数ab(mod m),cd(mod m)
3、,那么accd(mod m),(可乘性)二、中国剩余定理解法一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?解法:求3个数:第一个:能同时被3和4整除,但除以5余4,即12X224第二个:能同时被4和5整除,但除以3余1,即20X240第三个:能同时被3和5整除,但除以4余2,即15x230这3个数的最小公倍数为60,所以满足条件的最小数字为2440+30-60=3412X224 20X240 15x230中2的来历。三、解题技巧同余口诀:“差同减差,和同加和,余同取余,最小公倍n倍加”这是同余问题的口诀。1)、差同减差:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的差相同,此时反求
4、的这个数,可以选除数的最小公倍数,减去这个相同的差数,称为:“差同减差”。例:“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3”,因为4-1=5-2=6-3=3,所以取-3,表示为60-3或者60n-32)、和同加和:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的和相同,此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的和数,称为:“和同加和”。例:“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,因为4+3=5+2=6+1=7,所以取+7,表示为60n+7。3)、余同取余:用一个数除以几个不同的数,得到的余数相同,此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的余数,称为:“余同取余”。
5、例:“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,因为余数都是1,所以取+1,表示为60n+1。4)、最小公倍加:所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即上面1、2、3中的60n)都满足条件,称为:“最小公倍n倍加”,也称为:“公倍数作周期”。 三、例题解评例1:判定288和214对于模37是否同余思路点拨:可直接由定义判断。解:288-214=74=372288214(mod 37)例2、 用412、133和257除以一个相同的自然数,所得的余数相同,这个自然数最大是几?【解析】假设这个自然数是a,因为412、133和257除以a所得的余数相同,所以a(412133),a(412257
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