高考理科数学一轮复习:第4章(4)正、余弦定理及解三角形ppt课件(含答案).pptx
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1、第四讲 正、余弦定理及解三角形,【高考帮理科数学】第四章:三角函数、解三角形,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲要求,命题规律,命题分析预测,考点1 正、余弦定理及其应用,考点2 解三角形的实际应用,考法1 利用正、余弦定理解三角形,考法2 判断三角形的形状,考法3 与面积、范围有关的问题,考法4 解三角形的实际应用,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,易错 代数式化简或三角运算不当致误误,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,考情精解读,考纲要求 命题规律 命题分析预测,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度
2、量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.,考纲要求,命题规律,1.分析预测从近五年的考查情况来看,该讲是高考的重点和热点,主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用,有时也与三角恒等变换等进行综合命题,既有选择题、填空题,也有解答题,分值412分. 2.学科素养本讲主要考查考生的数学运算能力.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点1 正、余弦定理及其应用 考点2 解三角形的实际应用,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,1.正弦、余弦定理 在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为ABC的外接圆半径,则,考点1 正、余弦
3、定理及其应用(重点),注意: 在ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理解三角形时,会出现解的个数不确定的情况,情况如下:,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,2.三角形中的常见结论 在ABC中,常有下列结论: (1)A+B+C=. (2)大边对大角,大角对大边,如abABsin Asin B. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (4)有关三角形内角的三角函数关系式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)= -cos C;tan(A+B)=-tan C;sin + 2 =cos 2 ;cos + 2 =sin 2 . (5)在ABC中,内角A,B,C成等差数列B=
4、 3 ,A+C= 2 3 . (6)在斜ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,3.三角形的面积公式 (1)已知三角形一边及该边上的高:S= 1 2 ah(h表示边a上的高); (2)已知三角形的两边及其夹角:S= 1 2 absin C= 1 2 acsin B= 1 2 bcsin A; (3)已知三角形的三边:S= ()()() (p= 1 2 (a+b+c); (4)已知三角形的三边及内切圆半径:S= 1 2 r(a+b+c)(r表示三角形内切圆半径).,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,解三角形在测量中
5、的应用 解三角形的实际应用有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 说明 有关测量中的常用术语如下:,考点2 解三角形的实际应用(重点),理科数学 第四章:三角函数、解三角形,规律总结,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,B考法帮题型全突破,考法1 利用正、余弦定理解三角形 考法2 判断三角形的形状 考法3 与面积、范围有关的问题 考法4 解三角形的实际应用,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,考法1 利用正、余弦定理解三角形,考法指导 解三角形的基本类型及解法,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,示例1 2017北京,15,13分理在ABC中,
6、A =60,c= 3 7 a. ()求sin C的值; ()若a=7,求ABC的面积. 思路分析 ()根据正弦定理 sin = sin 求sin C 的值;()根据条件可知a=7,c=3,由()的结果求cos C,再利用sin B=sin(A+C) 求出sin B,最后利用三角形的面积S= 1 2 acsin B求出ABC的面积.,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,解析 ()在ABC中,A=60,c= 3 7 a, 由正弦定理得sin C= sin = 3 7 3 2 = 3 3 14 . ()解法一因为a=7,所以c= 3 7 7=3. 由()知sin C= 3 3 14 , 又c= 3
7、 7 aa,且A=60,所以CA,即C60. 故cos C= 1 sin 2 = 1( 3 3 14 ) 2 = 13 14 .,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,由A+B+C=180可得B=180-A-C, 所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=sin 60 13 14 +cos 60 3 3 14 = 4 3 7 . 所以ABC的面积S= 1 2 acsin B= 1 2 73 4 3 7 =6 3 . 解法二因为a=7,所以c= 3 7 7=3,由余弦定理得72=b2+32-2b3 1 2 ,解得b=8或b=-5(舍去). 所以ABC的面积S=
8、 1 2 bcsin A= 1 2 83 3 2 =6 3 .,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,拓展变式1 (1)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2C,2bcos C-2ccos B=a,则角A的大小为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 (2)在ABC中,a、b、c分别是内角A、B、C的对边.若bsin A=3csin B,a=3, cos B= 2 3 ,则 b= A.14 B.6 C. 14 D. 6,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,答案 (1)A (2)D 解析 (1)由正弦定理得2sin Bcos C-2sin Ccos B=sin A=sin
9、(B+C)=sin Bcos C+ cos Bsin C,sin Bcos C=3sin Ccos B,sin 2Ccos C=3sin Ccos 2C, 2cos2C=3(cos2C-sin2C),tan2C= 1 3 ,B=2C,C为锐角,tan C= 3 3 , C= 6 ,B= 3 ,A= 2 ,故选A. (2) bsin A=3csin Bab=3bca=3cc=1,b2=a2+c2-2accos B=9+1-231 2 3 =6,b= 6 ,故选D.,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,考法2 判断三角形的形状,考法指导 判断三角形的形状,主要有如下两种方法: (1)角化边.利用
10、正弦、余弦定理把已知条件转化为边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,如: 若a=b,则三角形为等腰三角形;若c2=a2+b2,则三角形为以角C为直角的直角三角形;若c2a2+b2,则三角形为以角C为钝角的钝角三角形;若c2a2+b2,则只能得到三角形中角C为锐角,如果同时有a2c2+b2,b2a2+c2都成立,此三角形为锐角三角形;有时可能得到两个结论a=b,且c2=a2+b2,此时三角形为等腰直角三角形.化简过程中不能随便约分,要把关系找充分,从而正确判断三角形的形状.,(2)边化角.利用正弦、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,常见的关
11、系有:sin 2A=sin 2B,即A=B或A+B= 2 ,三角形为等腰三角形或直角三角形;A+B= 2 ,三角形为以角C为直角的直角三角形;A=B=C,三角形为等边三角形.在这里要注意应用A+B+C=这个结论,从而判断出三角形的形状.,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,示例2 在ABC中,设a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,且直线bx+ycos A +cos B=0与ax+ycos B+cos A=0平行,则ABC一定是 A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰或直角三角形 思路分析 两直线平行可得到一个边角关系,即bcos B-acos A=0,然后可化边或化角
12、判断三角形的形状.,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,解析 解法一 (边化角)由两直线平行可知bcos B-acos A=0,由正弦定理可知sin Bcos B-sin Acos A=0,即 1 2 sin 2B- 1 2 sin 2A=0, 故2A=2B或2A+2B=,即A=B或A+B= 2 . 若A=B,则a=b,cos A=cos B,两直线重合,不符合题意,故A+B= 2 ,即ABC是直角三角形.,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,解法二 (角化边)由两直线平行可知bcos B-acos A=0, 由余弦定理,得a 2 + 2 2 2 =b 2 + 2 2 2 , 所以a2(b
13、2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2), 所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或a2+b2=c2. 若a=b,则两直线重合,不符合题意,故a2+b2=c2,即ABC是直角三角形. 答案 C,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,突破攻略 三角形形状的判断要从角或边长之间的关系上来考虑,除了应用正弦定理外,还要注意三角函数中公式的灵活应用和性质的应用.,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,拓展变式2 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 0,于是有cos B0,B为钝角,所以ABC是钝角三角形.故选A
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