高考理科数学一轮复习:第4章(3)三角恒等变换ppt课件(含答案).pptx
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1、第三讲 三角恒等变换,【高考帮理科数学】第四章:三角函数、解三角形,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲要求,命题规律,命题分析预测,考点 三角恒等变换,考法1 三角函数式的化简,考法2 三角函数的求值问题,考法3 求三角函数的最值(值域),B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,专题 三角恒等变换的综合应用,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,考情精解读,考纲要求 命题规律 命题分析预测,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式; 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式; 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正
2、弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系; 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).,考纲要求,命题规律,1.分析预测本讲在近五年均有考查,重点考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的综合应用,主要体现在:(1)三角函数的化简;(2)三角函数的求值;(3)通过恒等变换研究函数的性质等,既有选择题又有填空题,分值5分,难度中等.掌握三角函数的和差公式,二倍角公式的正用、逆用是解决问题的关键. 2.学科素养本讲主要考查考生的数学运算能力.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点 三角恒等变换
3、,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S():sin()=sin cos cos sin . C():cos()=cos cos sin sin . T():tan()= tantan 1tantan (, 2 +k,kZ). 2.二倍角公式 S2:sin 2=2sin cos . C2:cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2. T2:tan 2= 2tan 1ta n 2 (k+ 2 且 2 + 4 ,kZ).,考点 三角恒等变换(重点),3.辅助角公式 asin +bcos = 2 + 2 sin(+)(其中sin = 2 +
4、 2 ,cos = 2 + 2 ). 说明 一般形式有sin x+cos x= 2 sin(x+ 4 ),sin x+ 3 cos x=2sin(x+ 3 ), 3 sin x+cos x=2sin(x+ 6 ).,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,4.半角公式 sin 2 = 1cos 2 ;cos 2 = 1+cos 2 ;tan 2 = 1cos 1+cos = sin 1+cos = 1cos sin .以上称之为半角公式,符号由 2 所在象限决定. 注意 若给出角的范围(即某一区间)时,可先求出 2 的范围,然后根据 2 的范围来确定符号;如果没有给出决定符号的条件,则在根号前保
5、留正负两个符号.,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,5.和差化积、积化和差公式 (1)和差化积公式 sin +sin =2sin + 2 cos 2 ;sin -sin =2cos + 2 sin 2 ; cos +cos =2cos + 2 cos 2 ;cos -cos =-2sin + 2 sin 2 . (2)积化和差公式 sin cos = 1 2 sin(+)+sin(-);cos sin = 1 2 sin(+)-sin(-); cos cos = 1 2 cos(+)+cos(-);sin sin =- 1 2 cos(+)-cos(-).,理科数学 第四章:三角函数、解三
6、角形,规律总结 1.公式的常用变式:tan tan =tan()(1tan tan );tan tan =1- tan+tan tan(+) = tantan tan() -1;sin 2= 2sincos si n 2 +co s 2 = 2tan 1+ta n 2 ;cos 2= co s 2 si n 2 co s 2 +si n 2 = 1ta n 2 1+ta n 2 . 2.降幂公式:sin2= 1cos2 2 ;cos2= 1+cos2 2 ;sin cos = 1 2 sin 2. 3.升幂公式:1+cos =2cos2 2 ;1-cos =2sin2 2 ;1+sin =(s
7、in 2 +cos 2 )2;1-sin =(sin 2 -cos 2 )2. 4.常用拆角、拼角技巧:例如,2=(+)+(-);=(+)-=(-)+;= + 2 - 2 =(+2)-(+);-=(-)+(-);15=45-30; 4 += 2 -( 4 -)等.,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,B考法帮题型全突破,考法1 三角函数式的化简 考法2 三角函数的求值问题 考法3 求三角函数的最值(值域),理科数学 第四章:三角函数、解三角形,考法1 三角函数式的化简,考法指导 1.化简原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的转化,再使用公式. (2
8、)二看“函数名”,看函数名之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”. (3)三看式子“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等.,2.化简要求 (1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少; (2)式子中的分母尽量不含三角函数; (3)尽量使被开方数不含三角函数等. 3.化简方法 (1)异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化; (2)“1”的代换,三角公式的正用、逆用.,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,示例1 化简: 2co s 2 1 2tan( 4 )si n 2 ( 4 +) . 思路
9、分析 思路一 思路 二 ,运用两角和(差)的正弦(切)公式,切化弦,化简即可,化简即可,运用二倍角公式及诱导公式,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,解析 解法一 原式= co s 2 si n 2 2 1tan 1+tan (sin 4 cos+cos 4 sin ) 2 = (co s 2 si n 2 )(1+tan) (1tan)(cos+sin ) 2 = (co s 2 si n 2 )(1+tan) (1tan)(cos+sin ) 2 =1. 解法二 原式= cos2 2tan( 4 )co s 2 ( 4 ) = cos2 2sin( 4 )cos( 4 ) = cos2
10、sin( 2 2) = cos2 cos2 =1.,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,拓展变式1 已知(0,),化简: (1+sin+cos)(cos 2 sin 2 ) 2+2cos =. 答案 cos 解析 原式= (2co s 2 2 +2sin 2 cos 2 )(cos 2 sin 2 ) 4co s 2 2 . 因为(0,),所以cos 2 0, 所以原式= (2co s 2 2 +2sin 2 cos 2 )(cos 2 sin 2 ) 2cos 2 =(cos 2 +sin 2 )(cos 2 -sin 2 )= cos2 2 -sin2 2 =cos .,理科数学 第四章
11、:三角函数、解三角形,考法2 三角函数的求值问题,考法指导 三角函数式求值的基本类型及方法 (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题,另外此类问题也常通过代数变形(比如:正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值. (2)给值求值:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如=(+)-,2=(+)+(-)等,把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论. (3)给值求角:实质上可转化为“给值求值”问题,先求所求角的某一三角函数值,再利用该三角函数值结合所求角的范围及
12、三角函数的单调性求得角.,示例2 求值:(1) sin110sin20 co s 2 155si n 2 155 ; (2) 3 tan123 sin12(4co s 2 122) . 思路分析 利用诱导公式及三角恒等变换即可求解. 解析 (1)原式= sin70sin20 cos310 = cos20sin20 cos50 = 1 2 sin40 sin40 = 1 2 . (2)原式= 3 sin12 cos12 3 sin12(4co s 2 122) = 3 sin123cos12 2sin12cos12(2co s 2 121) = 2 3 ( 1 2 sin12 3 2 cos12
13、) sin24cos24 = 2 3 sin(1260) 1 2 sin48 =-4 3 .,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,示例3 已知cos( 4 +x)= 3 5 ,若 17 12 x 7 4 ,求 sin2+2si n 2 1tan 的值. 思路分析 注意x=( 4 +x)- 4 和2( 4 +x)= 2 +2x,巧妙地利用角的变换求解. 解析 解法一 由 17 12 x 7 4 ,得 5 3 x+ 4 2. 又cos( 4 +x)= 3 5 ,所以sin( 4 +x)=- 4 5 ,所以cos x=cos( 4 +x)- 4 =cos( 4 +x)cos 4 + sin( 4
14、+x)sin 4 = 3 5 2 2 - 4 5 2 2 =- 2 10 ,从而sin x=- 7 2 10 ,tan x=7. 则 sin2+2si n 2 1tan = 2sincos+2si n 2 1tan = 2( 7 2 10 )( 2 10 )+2( 7 2 10 ) 2 17 =- 28 75 .,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,解法二 由解法一得tan( 4 +x)=- 4 3 .又sin 2x=-cos( 2 +2x)=-cos 2( 4 +x)=-2cos2( 4 +x)+1=- 18 25 +1= 7 25 . 则 sin2+2si n 2 1tan = sin2
15、+2si n 2 1 sin cos = sin2cos+2si n 2 cos cossin = sin2(sin+cos) cossin = sin 2x 1+tan 1tan =sin 2xtan(x+ 4 )= 7 25 (- 4 3 )=- 28 75 .,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,突破攻略 解三角函数的给值求值问题的基本步骤: (1)先化简所求式子或所给条件; (2)观察已知条件与所求式子之间的联系; (3)将已知条件代入所求式子,化简求值.,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,示例4 (1)设(0,2),已知sin 3 cos ,则的取值范围是 A.( 3 , 2
16、) B.( 3 ,) C.( 3 , 4 3 ) D.( 3 , 3 2 ) (2)已知锐角,满足sin = 5 5 ,cos = 3 10 10 ,则+等于 A. 3 4 B. 4 或 3 4 C. 4 D.2k+ 4 (kZ),理科数学 第四章:三角函数、解三角形,思路分析 (1)思路一 思路二 (2) ,sin 3 cos ,sin(- 3 )0,的范围,利用排除法,验证=,= 4 3 即可,已知sin ,cos 的值,求cos ,sin 的值,求cos(+)的值,求+的值,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,解析 (1)解法一因为sin - 3 cos 0,即 1 2 sin - 3
17、 2 cos 0,所以sin(- 3 )0,(两角差的余弦公式的逆用) 所以2k 3 cos ,符合题意,排除A,B;取= 4 3 ,因为sin 4 3 =- 3 2 , 3 cos 4 3 =- 3 2 ,则sin 4 3 = 3 cos 4 3 ,不符合题意,排除D.,理科数学 第四章:三角函数、解三角形,(2)由sin = 5 5 ,cos = 3 10 10 ,且,为锐角,可知cos = 2 5 5 ,sin = 10 10 , 故cos(+)=cos cos -sin sin = 2 5 5 3 10 10 - 5 5 10 10 = 2 2 ,又0+,故+= 4 . 答案 (1)C
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