大学课件概率论 第2章 一维随机变量第一次.ppt
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1、一维随机变量及其概率分布,第二章,随机变量的概念与分布函数,一维连续型随机变量,一维离散型随机变量,一维随机变量函数的分布,概率测度P是事件域F到实数集R的映射,它不是经典函数,为了有效的使用数学工具,我们把基本事件换成数,进而把事件的概率用随机变量的分布函数来表示,这样就需要引入随机变量的概念。,2.1 随机变量及其分布,Random Variable and Distribution,随机变量,基本思想,将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果,有些随机试验的结果可直接用数值来表示.,例如: 在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示,例如: 掷硬币试验, 其结果是用汉字“正面
2、”和“反 面” 来表示的,可规定: 用 1表示 “正面朝上” 用 0 表示“反面朝上”,Random Variable,有些随机试验的结果不是用数量来表示,但可数量化,例 设箱中有10个球,其中有2个红球,8个白 球;从中任意抽取2个,观察抽球结果。,取球结果为: 两个白球;两个红球;一红一白。,特点:试验结果数量化了,试验结果与数建立了 对应关系,如果用X表示取得的红球数,则X的取值可为0,1,2。 此时, “两只红球”= “X取到值2”, 可记为 X=2 “一红一白”记为 X=1, “两只白球”记为 X=0.,试验结果的数量化,随机变量的定义,1) 它是一个变量,它的取值随试验结果而改变
3、2) 随机变量在某一范围内取值,表示一个随机事件,随机变量,随机变量的两个特征:,设随机试验的样本空间为 ,如果对于每一 个样本点 ,均有唯一的实数 与 之对应,称 为样本空间 上的随 机变量(样本点的函数)。,某个灯泡的使用寿命X。 某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y. 在0,1区间上随机取点,该点的坐标X.,X 的可能取值为 0,+),Y 的可能取值为 0,1,2,3,.,X 的可能取值为 0,1上的全体实数。,例,随机变量的实例,如何给出严格的数学定义?,正如对随机事件一样,我们所关心的不仅是实验会出现什么结果,更重要的是要知道这些结果将以什么样的概率出现。 即对随机变量我们不但要知道
4、它取什么值,而且要知道它取这些值的概率。,两种不同类型的随机变量,实验结果有限或者至多可列个,我们能把可能结果一一列举出来,这种类型的随机变量称为离散型随机变量。 如:1 古典型概率,把每个结果对应一个数值,则得到一个离散型随机变量。 2 n次伯努里试验中,若以记事件A出现的次数,则可取:0,1,2,n,一般的,对于定义在 上的离散型随机变量 只要指出它的取值: 以及取这些值的概率 就满足我们的要求了。 所以必须要求 的概率。而我们只 对事件域 中的集合定义概率,所以必须有,与离散型随机变量不同的是连续随机变量,一些随机现象所出现的实验结果可能不止可列个,如:测量误差,降水量,分子运动。 此时
5、,描述实验结果的随机变量还是样本点 的函数:严格写应该是 ,其中 , 但这些随机变量能取某个区间 或者实数的全体值。,1 此时不能用离散型随机变量的方法来描述这一随机变量;首先不能一一列出,其次取连续值的随机变量,它取某个值的概率常常是0. 2 取连续值的随机变量我们关心的不是它取某个特定值的概率,而是取值于某个区间的概率. 如:误差小于某个数的概率,降水量在100毫米到120毫米间的概率.,因此,要求我们求 或 的概 率,但既然我们只对 中的事件才定义概率, 自然要求上述集合都属于事件域 。 由上讨论,为了使我们感兴趣的概率计算得 以进行,我们应对 加上一定的限制,主 要要求 为此引入下面的
6、定义:,定义:设 为概率空间,映射 满足: 则称 为随机变量,随机变量 的分布函数 定义为 由定义:,分布函数的性质,定理 分布函数 具有下列性质: 单调性:若 ,则 右连续性:,证明:(1) (2) 由于 的单调性: 存在.,又因为 所以 (3) 由于 是单调函数,只需证明对一列单 调下降数列 成立 即可 因为,所以,注:1 2 分布函数的三个基本性质刚好对应于概率的三个基本性质。,问一问,是不是某一随机变量的分布函数?,不是,因为,综上,分布函数是一种分析性质良好的函数,便于处理,而且给定了分布函数就可以算出各种事件的概率,因而引进分布函数使许多概率问题得以简化为函数的运算,这样就能利用数
7、学分析的许多结果,这就是引入随机变量的好处之一。,离散型随机变量,如随机变量的取值只有有限个或可列多个(可数),则称它为离散型随机变量。,一维离散型随机变量,设离散型随机变量 的全部取值为 则称上式为X的概率分布律。也可写作:,离散型随机变量的分布列,称为 的分布列,或,性质 1 2 注:此时分布函数为 且,例 设X的分布律为,求 P(0X2),P(0X2)=P(X=1)+P(X=2) =1/2+1/6=2/3,分布律确定概率,解:,=P(抽得的两件全为次品),求分布律举例,例 设有一批产品20件,其中有3件次品,从中任意抽取2件,如果用X表示取得的次品数,求随机变量X的分布律及事件“至少抽得
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