大学课件概率论 第七章参数估计1.pptx
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1、参数估计,数理统计问题:如何选取样本来对总体的种种统计 特征作出判断。,参数估计问题:知道随机变量(总体)的分布类型, 但确切的形式不知道,根据样本来估计总体的参数,这 类问题称为参数估计。,参数估计的类型点估计、区间估计,内容提要,概述 参数的点估计 矩法估计 极大似然估计 估计量优劣性的评价 参数的区间估计,参数的估计量和估计值,设总体的分布函数为F(x,)(未知),X1,X2,Xn 为样本,构造一个统计量 来估计 参数,则称 为参数的估计量。,将样本观测值 代入 , 得到的值 称为参数的估计值。,估计量是某些特殊的统计量,两者的含义不完全相同。 每次取样不同,观测值也不同,统计量的统计值
2、也不同,所以估计量也是随机变量,我们用大写字母表示。而固定某次观测的估计值才是一个固定的数字。,注意,点估计:如果构造一个统计量,来作为参数的估计量,则称为参数的点估计。,区间估计:如果构造两个统计量,而用 来作为参数可能取值范围的估计,称为参数的区间估计。,参数的点估计,矩法,极大似然法,定义 设 为随机变量,若 存在,则称 为 的 阶原点矩,记作 ;若 存在,则称 为 的 阶 中心矩,记作 .,样本的 阶原点矩,记作,样本的 阶中心矩,记作,阶矩的概念,矩法估计:用样本的矩作为总体矩的估计量,矩估计的想法来源于大数定律。如果总体X存在k阶矩,对任意 有,这说明,当样本容量较大时,样本k阶矩
3、与总体k阶矩差别很小。,不仅仅是矩法估计,所有统计方法的中心思想都一致:用部分推断整体,但是当部分足够大时,根据大数定律,所做的推断越来越接近真实值。,例:长期的生产经验告诉我们,水泥厂成品打包机装袋的重量X服从正态分布,试用矩法估计来估计一台打包机装袋重量的均值和方差。,解:设装袋的重量为随机变量X,即总体为XN(, 2)。,观测50次,即取X1,X2,X50个样本,样本容量50,此时,要估计参数,就转化为估计随机变量的矩,计算样本的期望和方差,根据大数定理,样本的矩和总体的矩应当非常接近.,假若样本有观测值x1,x2,x50,代入统计量中,有统计值:,用他们来估计和2,用样本的原点矩估计总
4、体的原点矩,样本的中心距估计总体的中心矩 简便起见,代入具体观测值的过程可以省略,只要明确写出用哪些统计量来估计相应的参数即可,一般而言,并不是每个统计问题中的分布都如正态分布, 很多时候参数并没有直接的概率意义。所以想要直接构造估计量来估计参数是不现实的。,引例:,求a,b的估计。,有没有一般的办法来构造估计量?,曲线救国:不能直接构造参数的估计量,可以先估计总体的各阶矩,进而通过求解方程得到参数的估计量。,一般步骤,我们以原点矩为例说明:,(1)求出总体的各阶矩,作为被统计量,(2)用样本的矩作为总体矩的统计量,(3)求解方程组中的参数,从而 为 的矩估计量,第(2)步和第(3)步的次序可
5、以对换; 涉及中心距的参数也可类似求解,解:,例:,总体,求a,b的矩估计。,a,b是均匀分布的两个参数,假设取样n次,先写出总体,样本,统计量,并按照矩法写出估计量,总体:X,样本:,接下来是矩法的标准步骤:,注意:熟练之后可以略去写出总体和样本的过程。,第一步:计算一阶原点矩和二阶中心矩,第二步:用样本的矩作为总体矩的统计量,即:,第三步:求解方程组中的参数,例:,解:一个参数,只要一个矩即可。,与参数无关。,可先求解参数,选最简单的矩:,再代入样本对应的矩,并不是标准的矩法,而是某种推广了的矩法估计; 以后遇到密度函数为偶函数的情形均可这样处理。,有无其他方法?,注意:,例: 设X1,X
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