有趣的九宫格填数(5页).doc
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1、-有趣的九宫格填数-第 5 页有趣的九宫格填数江苏省泗阳县李口中学 沈正中九宫格填数是幻方中最简单的一种填数形式。如果一个n2矩阵的每行、每列及两条对角线的所有数之和都相等,且这些数都是从1到 n2的自然数,这样的方阵就称为n阶幻方。有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年,这是一类形式独特的填数问题。九宫格实质上是幻方中n3时的三阶幻方。三阶幻方传说最早出现在夏禹时代的“洛书” ,在北周的甄弯注数术记遗一书中,记有三阶幻方的填法:九宫内,二四为肩,六八为足,左七右三,戴九履一,五居中央。我国南宋时期杰出的数学家杨辉,是最早系统研究幻方的数学家。他曾将幻方命名为“纵横图” (三阶幻方也叫络书或
2、九宫图), 并给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明,四阶以上幻方,杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误。杨辉在在续古摘奇算法中,总结出了三阶幻方构造的方法:“九子斜排(1、2、3,4、5、6,7、8、9),上下对调(1、9),左右相换(7、3),四维挺出(4、2、8、6)。”意思是:先把l9九个数依次斜排(如下图一),再把上l下9两数对调(如下图二),左7右3两数互换(如下图三),最后把四面的2、4、6、8向外面挺出(如下图四),这样就构造了一个三阶幻方。199424242492753753357357868686816911 图一图二 图三图四三阶幻方的填法
3、不是唯一的,矩阵的第一行与第三行对调,或第一列与第三列对调,可以得出4种填法,将其中的任意一种填法旋转90,又可以得到另外的4种填法。例如,将上面图四的第一列与第三列对调,就可以得出前面口诀中的填法。通常我们把幻方中每行3个数的和称为幻方的幻和,幻方正中心的那个数叫做中心数,中心数也就是这9个数的中位数。从1到9这9个数的和为:1+2+3+8+9=45;则三阶幻方每行3个数字之和即幻和为:453=15。在1到9这9个数中,和为15的3个数,只能是:9+5+1、9+4+2、8+6+1、8+5+2、8+4+3、7+6+2、7+5+3、6+5+4。因此每行、每列、每条对角线上3个数只能是其中某个算式
4、中的3个数。九宫格中,经过中心数的有一行、一列和两条对角线,即这个数必须在4个不同的算式中出现,在上面的算式中只有5符合要求。同理,经过九宫格四个角上的数字都有一行、一列和一条对角线,即四个角上的数字必须同时在3个不同的算式中出现,只有2、4、6、8符合要求。先填好中心数和四个角上数字,再完成其它填空,就完成幻方填写了。幻方不仅是有趣的数学游戏,而且有很重要的实用价值,应用前景也广泛,相关介绍请查阅资料。三阶幻方中数字有趣的排列是有顺序的,如四个偶数在四角,从某个方向看奇偶数的是按大小有序排列的等等;熟记简单三阶幻方的填法口诀,填写三阶幻方的9个数,不论如何变化,只要将它们按大小的顺序排列编号
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