高中数学竞赛平面几何定理证明大全(7页).doc
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1、-高中数学竞赛平面几何定理证明大全-第 7 页Gerrald 加油 坚持住Gerrald 加油 坚持住Gerrald 加油 坚持住莫利定理:将任意三角形的各角三等分,则每两个角的相邻三等分线的交点构成一个正三角形。設ABC中的B,C的两条三等分角线分別交于P, D两个点(图1),按照莫利定理,D是莫莱三角形的一個頂点,当然D就是BPC的內心,因為BD, CD正好是CBP, BCP的角平分线。莫利三角形的另两个頂点E, F应该分別落在CP和BP上,因此我们产生了一个念头,如果能夠在CP, BP上找到E, F这两个点,使DEF是个正三角形,再证AE、AF正好是BAC的三等分线就行了为此,先把DP连
2、起來,在CP, BP上分別取两点E, F使EDPFDP30,于是就得到一个三角形DEF。为什么它是一个正三角形呢?因为D是BPC的內心,所以DP是BPC的角平分线,即DPEDPF,由作图知EDPFDP30,在DPE和DPF中,DP是公共边,而夹此边的两角又是对应相等的,所以DPEDPF。于是DEDF,即DEF是个等腰三角形,它的腰是DE和DF,而它的頂角又是60,所以它当然是个正三角形。接下來,我们的目标就是希望能证明DEF真的是莫利三角形,亦即AE, AF的确会三等分BAC。如图2所示,在AB, AC上各取一点G,H,使得BGBD, CHCD,把G、 F、E、H各点依次连起來,根据BFDBF
3、G,CEDCEH,我们就得到GFFDFEEDEH。下面,如果能夠证明G,F,E,H,A五点共圆,則定理的证明就完成了,因为GAF,FAE,EAH这三个圆周角所对的弦GF, FE, EH都等長,因而这三个圆周角也就都相等了。为了证明G,H,E,F,A共圓,必须证明FGEFHEA/3。看图2,首先我们注意到GFE是个等腰三角形,GFE是它的顶角,如果这个角能求出來,其底角FGE也就能求出来了。PFE也是一个等腰三角形,这是因为PDFPDE,(PD是公用边,DPFDPE,PDFPDE30),所以PF=PE。等腰三角形PFE的顶角大小为:FPE=-2/3(ABC+ACB)=-2/3(-BAC)=/3+
4、2/3BAC(1)BFD=PDF+DPF=/6+1/2FPE=/6+/6+1/3BAC=/3+1/3BAC (2) GFE=2-EFD-2BFD=2-/3-2/3-2BAC/3=-2/3BAC (3)最后得到:FGE=FEG=1/2(-GFE)=1/3BAC(4)同理可证:FHE=HFE=1/3BAC(5)至此可知G,H,E,F,A五点共圓。因GF=FE=EH,所以GAF=FAE=EAH=1/3BAC(6)即AE和AF恰好是BAC的三等分线,所以DEF是莫利三角形。蝴蝶定理:AB是圆的一条弦,中点记为S,圆心为O,过S作任意两条弦CD、EF,分别交圆于C、D、E、F,连接CF,ED分别交AB于
5、点M、N,求证:MS=NS。证明(一)过O作OLAD,OTCF,垂足为L、T,连接ON,OM,OS,SL,ST容易证明ESDCSF 所以ES/CSED/FC根据垂径定理得:LDED/2,FTFC/2 所以ES/CSEL/CT又因为EC 所以ESLCST 所以SLNSTM因为S是AB的中点 所以OSAB 所以OSNOSN90 所以OSN+OSN180所以O,S,N,L四点共圆 同理O,T,M,S四点共圆所以STMSOM,SLNSON 所以SONSOM ,因为OSAB 所以MSNS证明(二)从向和作垂线,设垂足分别为和。类似地,从向和作垂线,设垂足分别为和。现在,由于从这些等式,可以很容易看出:由
6、于PM=MQ 现在,因此,我们得出结论: ,也就是说,是的中点。清宫定理 :设P、Q为ABC的外接圆上异于A、B、C的两点,P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W,且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F,则D、E、F在同一直线上证明设P、Q为ABC的外接圆上异于A、B、C的两点,P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W,且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F 这时,P、Q两点和D、F、E、三点有如下关系: 将三角形的三边或者其延长线作为镜面,则从P点出发的光线照到D点经过BC反射以后通过Q点,从P点出发的光线照到E点
7、经AC的延长线反射后通过Q点,从P点出发的光线照到F点后通过Q点 从而,如果P、Q两点重合,则D、E、F三点成为从P(即Q)点向BC,CA,AB或者它们的延长线所引的垂线的垂足。于是,如果P、Q两点重合,清宫定理就成为西摩松定理。 我们决定将证明清宫定理的方针确定如下:因为D、E、F三点中,有两点在ABC的边上,其余一点在边的延长线上, 如证明 (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1, 则根据梅涅劳斯定理的逆定理,就可证明DEF三点在同一直线上。 首先,A、B、P、C四点在同一圆周上,因此 PCE=ABP 但是,点P和V关于CA对称 所以PCV=2PCE 又因为P和关于AB对称,所以
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