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1、-全国大学生数学建模竞赛-第 19 页 2015 年全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是(从 A/B中选择一项填写
2、) :A 我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话): 所属学校(请填写完整的全名): 延边大学 参赛队员 (打印并签名) :1. 张栋 2. 孙明亮 3. 刘润 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): 日期: 2015 年 5 月 3 日 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号): 编 号 专 用 页 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅进行编号) 赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用) 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号) 全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号) 1 依据“菜篮子工程中的蔬菜种植问题”所做的数学模型及相关问题的解答 摘要 针对“菜篮子工
3、程中的蔬菜种植问题”问题,从依据数据构建表格入手,运用 Mathematica9.0 软件代入数据进行运算以构建权矩阵,从而解得最短路径。并 构建了求最少补贴和补偿的数学模型,从而解决了问题 1 的(1),( 2)问题。 (1)的结果:42836.3 元 (2)的结果:50454.9 元 在问题 2 中以问题 1 的模型为基础,通过改变约束条件来构建相应模型,但将情 况分为两类:A:允许有过剩的蔬菜生产 B:不允许有过剩的蔬菜生产。 问题 2 的结果:A:254.288 元 B:206.776 元 在问题 3 中,继续以问题 1 的模型为基础,将各个基地运送至各个销售点的蔬菜 细分为 12 种
4、,并确定相关约束条件,从而解决了该题。 问题 3 的结果:50454.9 元 在问题 4 中,假设政策可以改变为以下:1 只扶持收益最低和最高的基地 2 保 证最低收益基地在补贴基础上也无法超过次低收益的基地 3 即使次高收益基地 获得和最高收益基地相同的补贴也无法超过没有补贴的最高收益基地。从而形成 了一个新的问题,搜集到相关数据,并和前面的结果作对比,做出了解答。 对于本文中所建立的各种模型,比较准确地解答了相关问题,并做了一定分类讨 论 ,研究了政策改进的可行性。但本模型仍存在着需要大量数据支持,较为繁 琐等缺点。 关键词:权矩阵,弗洛伊德算法,非线性规划,分类讨论,循环算法 2 1 问
5、题的重述 1.1 背景分析 为缓解我国副食品供不应求的矛盾,农业部于 1988 年提出建设“菜篮子工程”。一期工程建立了中央和地方的肉、蛋、奶、水产和蔬菜生产基地及良种繁育、饲料加工等服务体系,以保证居民一年四季都有新鲜的副食品供应。 蔬菜作为“菜篮子工程”中的主要产品,备受各级政府的重视。到 1995 年,蔬菜种植的人均占有量已达到世界人均水平。 对于一些中小城市,蔬菜种植采取以郊区和农区种植为主,结合政府补贴的方式来保障城区蔬菜的供应。这样不仅提高了城区蔬菜供应的数量和质量,还带动了郊区和农区菜农种植蔬菜的积极性。 JG 市的人口近 90 万,该市在郊区和农区建立了 8 个蔬菜种植基地,承
6、担全市居民的蔬菜供应任务,每天将蔬菜运送到市区的 35 个蔬菜销售点。市区有 15个主要交通路口,在蔬菜运送的过程中从蔬菜种植基地可以途径这些交通路口再到达蔬菜销售点。如果蔬菜销售点的需求量不能满足,则市政府要给予一定的短缺补偿。同时市政府还按照蔬菜种植基地供应蔬菜的数量以及路程,发放相应的运费补贴,以此提高蔬菜种植的积极性,运费补贴标准为 0.04 元/(1 吨.1 公里)。 1.2 提出问题 问题 1:针对下面两个问题,分别建立数学模型,并制定蔬菜运送方案。 (1)为 JG 市设计从蔬菜种植基地至各蔬菜销售点的蔬菜运送方案,使政府的短缺补偿和运费补贴最少;(最短路径-mathe 计算-解答
7、) (2)若规定各蔬菜销售点的短缺量一律不超过需求量的 30%,重新设计蔬菜运送方案。(基础上 x30%即可) 问题 2:为满足居民的蔬菜供应,JG 市决定扩大蔬菜种植基地规模,以增加蔬菜种植面积。建立问题的数学模型,确定 8 个蔬菜种植基地的新增蔬菜种植量,并重新设计蔬菜运送方案,使总短缺补偿和运费补贴最少。(依据光明市) 问题 3:为了提高居民的生活质量,市政府要求蔬菜种植基地不仅要保证蔬菜供应总量,还要满足居民对蔬菜种类的需求。每个蔬菜种植基地可种植 12 种蔬菜。在问题 2 得到的各个蔬菜种植基地日蔬菜供应量的基础上,建立数学模型,3 给出问题的求解算法,确定每个蔬菜种植基地的种植计划
8、,并重新设计蔬菜运送方案,使总短缺补偿和运费补贴最少。 问题 4:根据你们所能收集到的信息,政府如何进一步完善和制定相应的扶持政策,使得菜农有种植蔬菜的积极性,居民可以得到质优价低的新鲜蔬菜,同时还能够逐渐减少或者不用政府投入补贴。此问题可以专注一点或几点,在小范围内试点运行,形成问题的描述,并建立数学模型,给出数值结果。 2 问题的分析 这是一道通过数学软件(Mathematica 9.0)分析数据,运用数据解得最短路 径,并以此为基础构建数学模型,从而解决相关问题的问题。首先要确定各基地 到各销售点的最短距离,然后设定未知数来建立有关补贴的模型,以该模型为基 础就可以解决后面的问题。 3
9、模型的假设与符号说明 3.1 模型的假设 (1)天气,交通等外界因素不对蔬菜生产,运输产生影响 (2)货车可以在相邻的 M 地和 N 地做往返运动 (3)销售点并不一定是运输终点 (4)若基地蔬菜生产过剩,政府不予补贴 (5)蔬菜单价(吨)就是政府补贴单价(吨) 3.2 符号说明 (1)xij 从第 j 基地运输到第 i 销售点的蔬菜(吨) (2) xijk 从第j基地运输到第i销售点的第k类蔬菜(吨 ) (3)kij 第 j 基地到第 i 销售点的距离(公里) (4)W1 总运费补贴 4 (5)W2 总短缺补偿 4 模型的准备 4.1 大量数据处理方案:Mathematica 9.0 软件
10、4.2 基地生产积极性与政府补贴关系的划分依据: 粮食直接补贴政策实施效 果研究 4.3 评定政府扶农效益的一种标准:农民总收益与政府补贴金额的比 5.1 各基地到各销售点最短路径的求解1 将题干路程数据带入 Mathematica9.0,建立 58*58 权矩阵,并运用弗洛伊德 算法可得以下集合: 47, 35, 26, 13, 17, 33, 41, 49, 50, 40, 37, 30, 20, 12, 16, 21, 24, 35, 40, 43, 37, 33, 29, 31, 25, 22, 25, 28, 33, 40, 37, 44, 50, 42, 48, 48, 36, 2
11、7, 14, 18, 34, 41, 39, 40, 29, 29, 24, 13, 9, 5, 10, 13, 24, 29, 32, 26, 22, 18, 20, 14, 11, 14, 17, 22, 29, 26, 33, 39, 31, 37, 61, 51, 42, 29, 33, 49, 50, 48, 49, 38, 38, 33, 28, 24, 20, 19, 22, 33, 38, 41, 35, 31, 27, 21, 15, 14, 11, 12, 17, 28, 35, 42, 48, 40, 36, 68, 54, 53, 46, 43, 52, 57, 55,
12、 54, 45, 45, 46, 45, 41, 37, 32, 35, 40, 37, 40, 34, 30, 32, 26, 28, 32, 31, 25, 20, 18, 24, 34, 28, 19, 10, 44, 29, 28, 28, 18, 27, 35, 42, 36, 32, 31, 31, 26, 27, 31, 32, 29, 30, 24, 22, 16, 20, 24, 33, 36, 37, 40, 39, 35, 24, 17, 9, 3, 12, 21, 26, 31, 30, 36, 26, 23, 15, 13, 6, 17, 27, 34, 34, 35
13、, 35, 30, 27, 22, 16, 8, 14, 18, 22, 35, 34, 37, 40, 37, 42, 31, 24, 17, 23, 29, 38, 7, 14, 14, 27, 28, 21, 18, 25, 27, 30, 34, 41, 36, 32, 36, 41, 44, 35, 38, 41, 46, 45, 44, 51, 45, 42, 45, 48, 53, 58, 51, 50, 56, 56, 65, 32, 23, 15, 28, 29, 22, 30, 38, 39, 39, 35, 42, 37, 33, 37, 42, 45, 38, 41,
14、51, 49, 48, 47, 52, 46, 43, 46, 49, 54, 61, 54, 56, 62, 59, 68 这分别是第 1-8 基地到第 1-35 销售点的最短距离。 5.2 问题 1 的(1),( 2)的解答: 5.2.1 (1)设第 j 基地运送到第 i 销售点的蔬菜吨数为xij ,距离为kij 。则所需总运费补贴为 W1 5 W1= (k11 x11 +.+k18 x18 )+.+(k351 x351 +.+k358 x358 )0.04 所需短缺补偿为 W2 W2=6.5-(x11 +.+x18 )710+.+10.7-(x351 +.+x358 )500 总补贴及补
15、偿为: W1+ W2=(k11 x11 +.+ k18 x18 )+.+( k351 x351 +.+ k358 x358 )0.04+6.5-(x11 +.+x18 )710+.+10.7-(x351 +.+x358 )500 约束条件为: x11 +.+x18 =6.5 x351 +.+x358 =0。 3 带入 Mathematica 得最小补贴金额:42836.3 元 最佳运输方案如下: 第七基地到第一个销售点所运送的蔬菜为 6.5 吨; 第七基地到第二个销售点所运送的蔬菜为 10.2 吨; 第八基地到第三个销售点所运送的蔬菜为 12 吨; 第一基地到第四个销售点所运送的蔬菜为 14.
16、3 吨; 第一基地到第五个销售点所运送的蔬菜为 13 吨; 第六基地到第八个销售点所运送的蔬菜为 1.2 吨; 第七基地到第八个销售点所运送的蔬菜为 8.3 吨; 第六基地到第十个销售点所运送的蔬菜为 8.4 吨; 第八基地到第十一个销售点所运送的蔬菜为 10.5 吨; 第一基地到第十二个销售点所运送的蔬菜为 7 吨; 6 第一基地到第十三个销售点所运送的蔬菜为 5.7 吨; 第二基地到第十三个销售点所运送的蔬菜为 2.8 吨; 第二基地到第十五个销售点所运送的蔬菜为 11.6 吨; 第二基地到第十七个销售点所运送的蔬菜为 13.6 吨; 第二基地到第十八个销售点所运送的蔬菜为 3.5 吨;
17、第八基地到第十八个销售点所运送的蔬菜为 5.5 吨; 第六基地到第十九个销售点所运送的蔬菜为 7.3 吨; 第五基地到第二十一个销售点所运送的蔬菜为 4.6 吨; 第二基地到第二十二个销售点所运送的蔬菜为 2.4 吨; 第五基地到第二十二个销售点所运送的蔬菜为 5 吨; 第二基地到第二十三个销售点所运送的蔬菜为 6.7 吨; 第三基地到第二十四个销售点所运送的蔬菜为 8.7 吨; 第四基地到第二十四个销售点所运送的蔬菜为 3.8 吨; 第二基地到第二十五个销售点所运送的蔬菜为 4.4 吨; 第三基地到第二十五个销售点所运送的蔬菜为 5.2 吨; 第三基地到第二十七个销售点所运送的蔬菜为 7.2
18、 吨; 第三基地到第二十八个销售点所运送的蔬菜为 8.9 吨; 第四基地到第二十九个销售点所运送的蔬菜为 10.3 吨; 第四基地到第三十个销售点所运送的蔬菜为 9 吨; 第四基地到第三十一个销售点所运送的蔬菜为 7.7 吨; 第五基地到第三十二个销售点所运送的蔬菜为 8 吨; 第五基地到第三十三个销售点所运送的蔬菜为 11.4 吨; 第四基地到第三十四个销售点所运送的蔬菜为 7.2 吨; 5.2.2 (2)在(1)的模型基础上增加约束条件 4: 6.5-( x11 +.+x18 )=6.50.310.7-(x351 +.+x358 )=6.5 x351 +.+x358 =10.7。 5 x1
19、1 +.+x351 =40 x18 +.+x358 =28。 6 xij =0。 3 带入 Mathematica 求解得: 最小补贴金额:254.288 元 方案如下: (数据过多,详见附录) 5.3.2 B 情况的求解 在问题 1 的的模型的基础上,增添约束条件以解决该问题 约束条件为: x11 +.+x18 =6.5 x351 +.+x358 =40 x18 +.+x358 =28。 6 xij =0。 3 带入 Mathematica 求解的: 所需补贴金额为:206.776 元 方案如下: 第 7 基地到第 1 个销售点所需要运送的蔬菜为 6.5 吨; 第 7 基地到第 2 个销售点
20、所需要运送的蔬菜为 10.2 吨; 第 8 基地到第 3 个销售点所需要运送的蔬菜为 12 吨; 第 1 基地到第 4 个销售点所需要运送的蔬菜为 14.3 吨; 第 1 基地到第 5 个销售点所需要运送的蔬菜为 13 吨; 第 8 基地到第 6 个销售点所需要运送的蔬菜为 11 吨; 第 6 基地到第 7 个销售点所需要运送的蔬菜为 5.7 吨; 第 6 基地到第 7 个销售点所需要运送的蔬菜为 8.3 吨; 第 7 基地到第 8 个销售点所需要运送的蔬菜为 9.5 吨; 第 6 基地到第 9 个销售点所需要运送的蔬菜为 10 吨; 第 6 基地到第 10 个销售点所需要运送的蔬菜为 8.4
21、 吨; 第 6 基地到第 11 个销售点所需要运送的蔬菜为 5.5 吨; 9 第 6 基地到第 11 个销售点所需要运送的蔬菜为 5 吨; 第 8 基地到第 12 个销售点所需要运送的蔬菜为 0.7 吨; 第 1 基地到第 12 个销售点所需要运送的蔬菜为 6.3 吨; 第 2 基地到第 13 个销售点所需要运送的蔬菜为 8.5 吨; 第 2 基地到第 14 个销售点所需要运送的蔬菜为 12 吨; 第 1 基地到第 15 个销售点所需要运送的蔬菜为 11.6 吨; 第 2 基地到第 16 个销售点所需要运送的蔬菜为 12.5 吨; 第 2 基地到第 17 个销售点所需要运送的蔬菜为 13.6
22、吨; 第 2 基地到第 18 个销售点所需要运送的蔬菜为 9 吨; 第 6 基地到第 19 个销售点所需要运送的蔬菜为 7.3 吨; 第 6 基地到第 21 个销售点所需要运送的蔬菜为 12.7 吨; 第 6 基地到第 22 个销售点所需要运送的蔬菜为 7.4 吨; 第 2 基地到第 23 个销售点所需要运送的蔬菜为 6.7 吨; 第 2 基地到第 24 个销售点所需要运送的蔬菜为 0.2 吨; 第 3 基地到第 24 个销售点所需要运送的蔬菜为 4.3 吨; 第 4 基地到第 24 个销售点所需要运送的蔬菜为 8 吨; 第 3 基地到第 25 个销售点所需要运送的蔬菜为 9.6 吨; 第 2
23、 基地到第 26 个销售点所需要运送的蔬菜为 15 吨; 第 3 基地到第 27 个销售点所需要运送的蔬菜为 7.2 吨; 第 3 基地到第 28 个销售点所需要运送的蔬菜为 8.9 吨; 第 4 基地到第 29 个销售点所需要运送的蔬菜为 10.3 吨; 第 4 基地到第 30 个销售点所需要运送的蔬菜为 9 吨; 第 5 基地到第 31 个销售点所需要运送的蔬菜为 7.7 吨; 第 5 基地到第 32 个销售点所需要运送的蔬菜为 8 吨; 第 5 基地到第 33 个销售点所需要运送的蔬菜为 11.4 吨; 第 5 基地到第 34 个销售点所需要运送的蔬菜为 12.1 吨; 第 4 基地到第
24、 35 个销售点所需要运送的蔬菜为 10.7 吨; 5.4 问题 3 的求解 此题需要将每个xij 细分成 12 个部分,然后确定新的约束条件,即在问题 1(2) 的基础上增加约束条件 7 来解决: x111 +.+x181 1. x35112 +.+x35812 0.4。7 xijk =0。8 带入 Mathematica 得: 所需补贴金额为:50454.9 元 方案如下: (数据过多,详见附录) 5.5 问题 4 的求解 10 假设政策可以改变为以下: 1 只扶持收益最低和最高的基地 2 保证最低收益基地在补贴基础上也无法超过次低收益的基地 3 即使次高收益基地获得和最高收益基地相同的补
25、贴也无法超过没有补贴的最 高收益基地。 形成问题: 假设蔬菜单价就是政府补贴单价,基地收益就是各销售点销售该基地蔬菜所得收 益(假设销售点在此模型下需求量上不封顶),根据某省蔬菜农业发展报告得出 补贴与基地生产积极性的关系(即补贴与增产关系),根据假设政策得出收益最 高和最低的基地的补贴数额,并与问题(1)的结果作对比。 模型建立: 由相关文献得知政府补贴与基地生产积极性的大致函数关系2:Y=X0.4(Y 为 新增产量(斤),X 为原产量每斤补贴金额(元), 又知,第 4 基地是最高收益基 地,第 6 基地是最低收益基地,设原补贴金额为 4000 元,根据政策的假设易得 最高和最低的补贴额度。
26、从而建立模型如下: 各基地收益总额: 第一基地 23763 元 第二基地 17712 元 第三基地 17710 元 第四基地 23832.5 元 第五基地 17972 元 第六基地 11508.5 元 第七基地 16818 元 第八基地 16885 元 问题 1 的基地总收益为: x11 +.+ x18 )710+.+ x351 +.+x358 )500X0.42000=62568488 元 改 变 政 策 之 后 基 地 的 总 收 益 约 为 : 23832.5X10.4+11508.5 X20.4+16885=4230230 元 问题 1 中总收益与政府补贴之比:62568488*400
27、0-1=15642.122 改变政策之后总收益与政府补贴之比 4230230*360-1=11750.6389 11 通过比较发现问题 1 中总收益与政府补贴之比更大。原政策使补贴金额能发挥更 大效益,而假设的政策的补贴金额发挥的效益较小。 综上,经过这种方式的对比,发现假设的政策效果不佳,原政策更有利于蔬菜农 业发展及人民消费。 6 模型的评价 优点: 1 本文中的模型在能较准确地表述问题,并因之解决一些相关问题。 2 该模型考虑了基地生产的几种情况,对相关问题进行了充分的讨论。 缺点: 1 忽略了一些重要的因素,如交通流量,天气因素,市场因素等,会带来一定程 度的误差。 2 该模型需要一定数量的数据支持才能解决相关问题,不够简洁。 参考文献: 1 百度文库,基于数学软件的 Floyd 算法的实现 , K 2015 年 5 月 1 日 2 焦小英,粮食直接补贴政策实施效果研究 ,石河子大学硕士学位论文, 第 4 章,第 28 页-第 31 页,2011 年 6 月 所用软件:Mathematica 9.0 所用命令:见附录文件 12 13
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