二重积分概念 (2).ppt
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1、关于二重积分概念 (2)现在学习的是第1页,共33页机动 目录 上页 下页 返回 结束 复习定积分定义复习定积分定义 “大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ”baxxfd)(iniixf10)(lim定积分仅与什么有关 ?定积分的几何意义是什么定积分的几何意义是什么?可积的一个充分条件是可积的一个充分条件是?定积分的性质有几条定积分的性质有几条?偶倍奇零是什么偶倍奇零是什么?旋转体的体积公式旋转体的体积公式?点的累积可以成线点的累积可以成线,线的累积可以成面线的累积可以成面,那么面的累积可以成那么面的累积可以成什么什么?现在学习的是第2页,共33页三、二重积分的性质三、二重积分的性质
2、第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第十章 现在学习的是第3页,共33页解法解法: 类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:0),(yxfz底:底: xoy 面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面侧面:侧面:以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” D),(yxfz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第4页,共33页D),(yxfz
3、 1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个k, ),(kk3)“近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第5页,共33页4)“取极限”的直径为定义kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第6页,共33页2. 平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上
4、占有区域 D ,),(Cyx计算该薄片的质量 M .度为),(),(常数若yx设D 的面积为 ,则M若),(yx非常数 ,仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域,21n相应把薄片也分为小区域 .D机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx现在学习的是第7页,共33页2)“常代变”中任取一点k在每个),(kk3)“近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx现在学习的
5、是第8页,共33页两个问题的共性共性:(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“大化小, 常代变, 近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第9页,共33页二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设将区域 D 任意分成 n 个小区域),2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数 I , 使nkkkkfI10),(lim可积可积 , ),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在D上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,积
6、分和Dyxfd),(积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第10页,共33页DyxfVd),(引例1中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,),(yxf也常d,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第11页,共33页二重积分的几何意义是?机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的数值取决于哪两个条件?练习练
7、习:1、用重积分表示球:、用重积分表示球:2222azyx的体积。的体积。2、用重积分表示椭球:、用重积分表示椭球:1222222czbyax的体积。的体积。3、用重积分表示平面、用重积分表示平面2zyx和三坐标面所围成几何体的体积。和三坐标面所围成几何体的体积。现在学习的是第12页,共33页二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数),(yxf),(yxf定理2.),(yxf上可在则Dyxf),(定理1.在D上可积可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如, yxyxyxf22),(在D :10 x10 y上二重积分存在
8、 ;yxyxf1),(但在D 上 y1xo1D二重积分不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第13页,共33页三、二重积分的性质三、二重积分的性质(二重积分的几何意义是?)Dyxfkd ),(. 1( k 为常数)Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d ),(. 3DDDyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 为D 的面积, 则 ),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第14页,共33页机动 目录 上页 下页 返回 结束 dxdyD310,
9、11:yxD练习练习1计算计算 其中其中 ?dxdyxD10, 10:yxD猜想猜想 其中其中 现在学习的是第15页,共33页特别, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为 ,MyxfmDd),(则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第16页,共33页7.(二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD证证: 由性质6 可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理, 至少有一点D),(D
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