2022年高等数学求极限的常用方法附例题和详解.docx
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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高等数学求极限的14 种方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、极限的定义1. 极限的保号性很重要:设limf xA ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( i )如 A0 ,就有0 ,使得当 0| xx0 |时, f x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( ii)如有0, 使得当 0| xx0 |时 , fx0,就A0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载
2、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为x时函数的极限和xx0 的极限.要特殊留意判定极可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_限是否存在在:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( i )数列xn 收敛于 a的充要条件是它的全部子数列均收敛于a.常用的是其推论,即“一个数列收敛于a 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( ii )limxf xAlimxf xlimAx可编辑资料 - - - 欢迎下载
3、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(iii) limf xAlimlimA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0xx0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(iv) 单调有界准就( v)两边夹挤准就(夹逼定理/ 夹逼原理)( vi) 柯 西 收 敛 准 就 ( 不 需 要 掌 握 ) . 极 限limf x存 在 的 充 分 必 要 条 件 是 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0,0, 使得当 x1、x20U o x时,恒有xx0| f x1 f x2 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二解决极限的
4、方法如下:1. 等价无穷小代换.只能在乘除时候使用.例题略.2. 洛必达( L hospital)法就(大题目有时候会有示意要你使用这个方法)洛必达法就(定理)设函数 fx)和 Fx )满意以下条件:xa 时, lim fx=0,lim Fx=0;在点 a 的某去心 邻域 内 fx)与 Fx )都可导,且Fx )的 导数 不等于 0;xa 时, limfx/Fx)存在或为无穷大就xa时, limfx/Fx=limfx/Fx注:它的使用有严格的使用前提.第一必需是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情形下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不行能是负无穷.其
5、次, 必需是函数的导数要存在,假 如告知 f (x )、g(x ), 没告知是否可导,不行直接用洛必达法就.另外, 必需是 “0 比 0”或“无穷大比无穷大”, 并且留意导数分母不能为0.洛必达法就分为3 种情形:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(i )“0 ”“”时候直接用0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(ii) “ 0”“”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了.通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 4 页 - - - - - - - -
6、- -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项之后,就能变成i中的形式了.即f x g xf x 1或f x g xg x 1.f xg x1g x11f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g xf xf x g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(iii) 00f x g x g x lnf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“ 0”“ 1 ”“”对于幂指函数, 方法
7、主要是取指数仍取对数的方法,即e,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这样就能把幂上的函数移下来了,变成“0”型未定式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 泰勒公式 含有ex 的时候,含有正余弦的加减的时候)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ex1xxx ne xx n 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.n.n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_35sin xxxx1mx 2 m 11 m 1cos xx2m 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.
8、5. 2m1. 2m3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24cos=1xx2.4.1mx2m 2m.1 m1cos 2mx 2.x 2 m 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23ln ( 1+x) =x- xx23nx1n 1n1 nnxn 111x n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1+xu =1uxu u2.1 x 2C n xnn 1 1x un 1 xn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
9、_精品资料_uCu以上公式对题目简化有很好帮忙可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mm14. 两多项式相除 : 设an ,bm 均不为零 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nP( x )= an xan 1x n 1a1 xa0 ,Q xbxmbm 1xb1 xb0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(i) Px an , m bnn( ii)如Qx 0P xP x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim0, nm0,就limQ xQ x 可
10、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xQ x, nmxx0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 无穷小与有界函数的处理方法.例题略.面对复杂函数时候,特殊是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,肯定要留意这个方法.面对特别复杂的函数可能只需要知道它的范畴结果就出来了.6. 夹逼定理: 主要是应用于数列极限,常应用放缩和扩大不等式的技巧.以下面几个题目为例: (1)设 abc0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xabnnnnnncn ,求lim xn可编
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