南航戴华《矩阵论》Hermite矩阵与正定矩阵.ppt
《南航戴华《矩阵论》Hermite矩阵与正定矩阵.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《南航戴华《矩阵论》Hermite矩阵与正定矩阵.ppt(30页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、第5章 Hermite矩阵与正定矩阵,5.1 Hermite矩阵与Hermite二次型,5.4 Hermite矩阵的特征值*,5.3 矩阵不等式,5.2 Hermite正定(非负定)矩阵,5.1 Hermite矩阵与Hermite二次型,5.1.1 Hermite矩阵,5.1.2 矩阵的惯性,5.1.3 Hermite二次型,5.1.1 Hermite矩阵,Hermite矩阵具有如下简单性质:,(1) 如果 A是Hermite矩阵,则对正整数 k,Ak 也是 Hermite矩阵;,(2) 如果 A是可逆Hermite矩阵,则A-1 是Hermite矩阵;,(3) 如果 A,B是Hermite矩
2、阵,则对实数k,p, kA+pB 是 Hermite矩阵;,若A,B是Hermite矩阵,则 AB是Hermite矩阵的 充分必要条件是AB = BA;,(5) A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意方阵 S, SH AS是Hermite矩阵。,定理5.1.1,定理5.1.2 设 A为n 阶Hermite矩阵,则 (1) A的所有特征值全是实数; (2) A的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的。,定理5.1.3 设 ,则 A是Hermite矩阵的充分 必要条件是存在酉矩阵U使得,定理5.1.4 设 ,则 A是实对称矩阵的充分 必要条件是存在正交矩阵Q使得,5.1.2 矩阵的惯性,定理
3、5.1.5 设 A是n 阶Hermite矩阵,则 A相合于矩阵,其中 r = rank(A),s是 A的正特征值(重特征值按 重数计算)的个数。,(5.1.3)中矩阵称为n 阶Hermite矩阵 A的相合标准形。,定理5.1.6(Sylvester惯性定律) 设 A,B是n 阶Hermite 矩阵,则 A与B相合的充分必要条件是,5.1.3 Hermite二次型,则 A为Hermite矩阵。称矩阵A为Hermite二次型的 矩阵,并且称 A的秩为Hermite二次型的秩。,记,利用Hermite二次型的矩阵,Hermite二次型可 表示为,设P是n阶可逆矩阵,作线性变换x = Py,则,Her
4、mite二次型中最简单的一种是只包含平方 项的二次型,称形如(5.1.12)的二次型为Hermite二次型的 标准形。,定理5.1.7 对Hermite二次型 f (x) = xHAx,存在酉 线性变换x = Uy(其中U是酉矩阵)使得Hermite 二次型f (x)变成标准形,定理5.1.8 对Hermite二次型 f (x) = xHAx,存在可逆 线性变换x = Py 使得Hermite二次型f (x)化为,其中 r = rank(A),s = (A).,Hermite二次型可分为五种情况,定义5.1.1 设f (x) = xHAx为Hermite二次型。,定理5.1.9 对Hermit
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 矩阵论 戴华 矩阵 hermite 正定
限制150内