2022年高数笔记 .docx
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1、精品_精品资料_高等数学学习笔记亳州市谯城区估衣学校唐士刚第一章函数实数一、数的拓展依据习惯 ,为简便起见 :自然数集 N,整数集 Z, 有理数集 Q, 实数集R, 建立了实数轴之后 ,就建立了实数 对应数轴的点 ,那么下面我们要一一建立某一实数集与数轴上某一区间的对应.二、数轴规定了原点, 正方向和单位长度的直线叫数轴.全部的实数都可以用数轴上的点来表示.也可以用数轴来比较两个实数的大小.画一条水平直线,在直线上取一点表示0 ,选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴.所以原点、单位长度、正方向是数轴的三要素.利用数轴可以比较实数的大小,数轴上从左往右的点表示的数就
2、是按从小到大的次序.三、区间设数 a, b, 且 a b , 就实数集 x |a x b称为开区间 ,记为 a ,b即a, b= x| a x b .a 称为区间 a ,b 的左端点 ,b称为 a, b 的右端点 . 留意 ,aa, bba, b , .类似的有 : 闭区间 :a, b= x a x b, a a, b, b a, b半开区间 :a, b= x| a x b, a a, b, b a, b a, b= x a a . , b = x| x b, , b = x| x 0 |a|=-a a0.使| fx | M,xI,就称函数 f x 在区间 I 上有界 , 否就称 f x 在可
3、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_区间 I 上无界, ,即对任何 M0, 总 3x1 I ,使 f | x1 | M ,那么 f x 在 I 上无 界.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x =例如 : f x =sin x在区间 ,+ 内是有界的 Q sin x 1, x ,+ , f1在区间 0,1 内是无界的 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_事实上 ,无论给定多么大的正数M 不妨设 M1 ,必有 x1 =12m0,1 f x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=2MM,故 f x = 1在0,1 内无界 .例 7 函数 f x
4、= sin x在 x - ,+ 内是有界 . 2 、单调性 包括单调增加 ,单调削减 假设函数 f x 在区间I 上,对任何 x1 , x 2 I , x1 x 2恒有 f x1 f x 2 ,就称函数 f x 在区间 I 上为严格单调增加 或严格单调削减 的函数 .假设 f x 在 区 间 I 上 ,xI , x1 0 3 、 指数函数y=a x4 、对数函数y= a N 且 ,a0且 . a0且 a 1二、三角函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ytgx ysin xycosxytgxycscx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ysocxyctgx三、反三角函
5、数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yarcsin xyarcsin xyarctgx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、函数的运算、 、符合运算:ytg sinxytgu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_usin x其次章极限和连续第一节 极限一数列的极限按肯定次序排列的无穷多个数称为数列,记作an ,其中每一个数称为数列的项.例如 11 , 3 , 5 , ., . 21 , 0 , 1 , 0 , .,.都是数列.在几何上,数列可看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点.定义对于数列,假如无限的趋于一个常数A,就称当 n 趋于无穷大时,数列以常
6、数A为极限,或称数列收敛于A ,否就称数列没有极限,假如数列没有极限,就称数列是发散的.数列极限的几何意义:将常数A 及数列的项依次用数轴上的点表示,假设数列以A 为极限,就表示当 n 趋于无穷大时,点可以无限靠近点A .二数列极限的性质1数列 an 以 a 为极限的另一个说法,或者说一个充要条件是:对于数列 an 的任可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_意一个子数列 ani都以 a 为极限.lim anlim bncn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假如两个不同数列具有相同的极限:nn, 而另外一个数列 c满可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_足条件
7、:存在一个确定的自然数N ,当 nN时,总是有ancnbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成立,那么数列 cn收敛,并且极限为c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三函数极限的概念1 当时的极限定义 对于函数, 假如当 x 无限的趋于一个确定的常数时,函数无限的趋于一个常数A , 就称当时函数的极限是A .2 当时的左极限定义 对于函数,假如当x 从的左边无限的趋于确定的常数时,函数无限的趋于一个常数 A ,就称当时函数的左极限是A.3 当时的右极限定义 对于函数,假如当x 从的右边无限的趋于确定的常数时,函数无限的趋于一个常数 A ,就称当时函数的右极限是A,这
8、就是说:假如当时,函数的极限等于A ,就必定有左、右极限都等于A .反之,假如左、右极限都等于A ,就必有函数的极限等于A .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四函数的极限定理.第一假设函数fx在点 x0 的邻域 x, x 内有定义,而在 x0 点上不肯定需要可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有定义.假如存在一个确定的点A,而我们假如取点A 的任意一个邻域 A, A,都可以找到相应的点x0 的邻域 x, x, 使得对于函数y=f x来说,只要自变量x 属可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于邻域 x, x 里,就有因变量 y 属于邻 Alim, Af x
9、, 这样我们就可以说当函数自A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变量 x 趋向于点 x0 时,函数以 A 为极限,记成五无穷小量和无穷大量1、无穷小量和无穷大量xx0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义 对于函数,假如自变量x 在某个变化过程中,函数的极限为零,就称在该变化过程中,为无穷小量.在微积分中常用希腊字母来表示无穷小量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义 假如当自变量在变化过程中时,函数值的肯定值可以变得充分大也即无限的增大,就称在该变化过程中,为无穷大量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_无穷小量与无穷大量之间有一种简
10、洁的关系,见以下的定理.定理 1.11在同一变化过程中,假如fx 为无穷大量,就1为无穷小量.反之,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_果 fx 为无穷小量,且 fx 0,就1为无穷大量.f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x性质 1有限多个无穷小量的代数和仍是无穷小量.性质 2有界函数变量与无穷小量的乘积是无穷小量.常量与无穷小量的乘积是无穷小量.性质 3有限多个无穷小量的乘积是无穷小量.性质 4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量.六极限的四就运算法就.第一假设函数fx和 gx都在自变量 x 趋向于 x 0 时存在有限的极限,那么就有下可编辑资
11、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面的运算规章, 我们简写了极限符号,都是表示xx0 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a. lim kf xk limf x 其中 k 为实数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b. limf xg xlimf xlimg x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c. limf xgxlimf xlimg x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料
12、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limf xlimf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d. g xlimg x,其中limg x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次节函数的连续性一函数连续的概念1、函数在点处连续定义 1 设函数 y=f x在 x 0 某个邻域内有定义,假如当自变量的转变量趋近于0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相应的函数也趋近于0 ,就称函数 y=f x在点处连续.定义 2 设函数 y=f x,假如 函数在某点的左极限存在且等于该点的函数值,就称函数fx在点处左连续.假如函数在某点的右极限存在且等于该点的函数
13、值,就称函数 fx在点处右连续.2、函数在区间 a , b 上连续假如函数 fx在区间 a ,b 上的每一点 x 处都连续, 就称 f x在区间 a ,b 上连续,并称 fx为 a , b 上的连续函数.即f x在左端点 a 处是右连续,在右端点b 处是左连续.3、函数的间断点定义:假如函数 fx在点处不连续就称点为fx一个间断点.由函数在某点连续的定义可知,假如fx在点处有以下三种情形之一,就点是f x一个间断点.1 在点处, fx没有定义.2在点处, fx的极限不存在.3虽然在点处 fx有定义,且存在.二函数在一点处连续的性质定理反函数的连续性设函数y=f x在某区间上连续,且严格单调增加
14、或严格单调削减,就它的反函数也在对应区间上连续,且严格单调增加或严格单调削减.三闭区间上连续函数的性质定理有界性定理假如函数fx在闭区间 a , b 上连续,就 fx必在 a ,b 上有界.定理最大值和最小值定理假如函数fx在闭区间 a ,b 上连续,就在这个区间上肯定存在最大值 M 和最小值 m .定理介值定理假如函数fx在闭区间 a ,b 上连续,且其最大值和最小值分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M 和 m ,就对于介于 m 和 M 之间的任何实数 c,在 a , b 上至少存在一个最大值.四函数的连续性,单侧连续性. 我们说函数在某点是连续的,意思是说( 1) 函数
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