矩阵的标准规定型.ppt
《矩阵的标准规定型.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《矩阵的标准规定型.ppt(88页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、第四章 矩阵的标准型,标准型的理论源自矩阵的相似性,因为相似矩阵有许多相似不变量:特征多项式、特征值(包括代数重数和几何重数)、行列式、迹及秩等,并且特征向量也可以借助于可逆的相似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似矩阵集合中的“代表矩阵”的问题。“代表矩阵”当然越简单越好。对于可对角化矩阵,“代表矩阵”就是特征值组成的对角矩阵。特别地,对于正规矩阵,可逆的相似变换矩阵特殊化为酉矩阵或正交矩阵。但是令人非常遗憾的是:一般矩阵未必与对角矩阵相似!,1、矩阵的Jordan标准型,由于一般矩阵与对角矩阵不相似,因此我们“退而求其次”,寻找“几乎对角的”矩阵。这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题,
2、其中Jordan标准型是最接近对角的矩阵,只在第1条对角线上取1或0。弄清楚了矩阵相似的本质,理论上、计算上以及应用上的许多问题就容易处理了,当然花费也大了。,一、 Jordan标准型的概念,定理 1 设 是复数域 上的线性空间 上的线性变换 。令 在 的一组基下的矩阵表示为 ,如果 的特征多项式可分解因式为,适当选取每个子空间 的基(称为Jordan基),则每个子空间的Jordan基合并起来即为 的Jordan基,并且 在该Jordan基下的矩阵为块对角阵,称 为 的Jordan标准型。并称方阵,为 阶Jordan 块。,定理 2 设 。如果 的特征多项式可分解因式为,则 可经过相似变换化成
3、唯一的 Jordan标准型 (不计Jordan块的排列次序),即存在可逆矩阵(称为Jordan变换矩阵) 使,或者 有Jordan分解,二、 Jordan标准型的一种简易求法,把 的同一个特征值的若干个Jordan块排列在一起,就得到Jordan标准型,其中 是 阶的Jordan子矩阵,有 个阶数为 的Jordan块,即,其中 是 阶的矩阵。,根据 的结构,将Jordan变换矩阵 列分块为,由 ,可知,进一步,根据 的结构,将 列分块为,其中 是 阶矩阵。,由 ,可知,最后,根据 的结构,设,由 ,可知,解这个方程组,可得到Jordan链,这个名称也可以这样理解:,其中, 是矩阵 关于特征值
4、的一个特征向量, 则称为 的广义特征向量,称 为 的 级根向量。,当所有的 时,可知 ,此时矩阵没有广义特征向量, 的各列是 的线性无关的特征向量,因此Jordan块 都是一阶的,此时Jordan标准型为 即矩阵 是可对角化矩阵。显然正规矩阵是一类最特殊的可对角化矩阵。,例 3 求矩阵 的 Jordan标准型 和相应的Jordan变换矩阵 ,其中,解: 特征值为 ,所以设,因为特征值 为单根,所以,并从 解得对应的特征向量为,因此 中只有一个Jordan块,即,求解 ,可得所需的广义特征向量,对重根有几个特征向量,就有几个约旦块,综合上述,可得,例 4 用 Jordan标准型理论求解线性微分方
5、程组,解: 方程组的矩阵形式为,这里,其中,由上例,存在可逆线性变换 使得,所以原方程组变为,即,解得,最后,由可逆线性变换 得原方程组的解,例 5 现代控制理论中,线性定常系统(Linear time invariant , LTI )的状态空间描述为,这里矩阵 表示了系统内部状态变量之间的联系,称为系统矩阵;矩阵 称为输入矩阵或控制矩阵;矩阵 称为输出矩阵或观测矩阵;矩阵 称为直接观测矩阵。,做可逆线性变换 ,则,显然,最简单的 就是 的Jordan标准型。此时虽然没有实现状态变量间的完全解耦,但也达到了可能达到的最简耦合形式。因此线性变换就是状态空间的基底变换,其目的在于寻找描述同一系统
6、的运动行为的尽可能简单的状态空间描述。,求下列状态方程的约当标准型:,这里矩阵 是特征多项式 的友矩阵。,解:,的特征值为 ,故设,因为特征值 为单根,所以,并从 解得对应的特征向量为,只解得唯一的特征向量为,对于二重特征值 ,由,因此 中只有一个Jordan块,即,求解 ,可得所需的广义特征向量,综合上述,可得,因此经过可逆线性变换 后,系统矩阵 和控制矩阵 分别为,例 6 求矩阵 的 Jordan标准型 和相应的Jordan变换矩阵 ,其中,因为特征值 为单根,所以,解: 的特征值为 ,则,并从 解得对应的特征向量为,因此 中有两个Jordan块,即,求解 ,无解!,求解 ,可得所需的广义
7、特征向量,综合上述,可得,综合上述,可得,要特别当心的是,如果选取三重特征值 的特征向量为,求解 ,无解!,求解 ,也无解!,这说明,在选取特征值 的 个特征向量,前述求法显然存在有待深化。,这说明,在选取特征值 的 个特征向量,三、 Jordan标准型的一般方法,有非零解的最小正整数。,根据前面的分析,这个最小正整数也就是相应于特征值 的最大Jordan块的阶数。,设 为复方阵 的代数重数为 的特征值, 为使得等式,成立的最小正整数(称为特征值 的指标),即使得,(3)计算 。,按此计算出的 就是 阶Jordan块 的个数。不计顺序,就唯一确定了相应的Jordan标准型。,规定 。(1)计算
8、,(2)计算 直至出现,则,则可得最长的Jordan链,取 满足,至于相应的子矩阵 的构造,我们通过一个例子来说明。假定,这里,对于另外两条长为 2 的Jordan链,可这样选取:,例 7 求矩阵 的 Jordan标准型 和相应的Jordan变换矩阵 ,其中,因为特征值 为单根,所以,解: 的特征值为 ,则,并从 解得对应的特征向量为,对于三重特征值 ,计算得,从而得最长的Jordan链,解 得非零向量,显然 线性无关。,解 得非零向量,令,可以验证成立等式,2、 矩阵及其Smith标准型,由于Jordan标准型的计算需要特征值、特征向量及广义特征向量的信息,因此与特征多项式关系密切。从函数的
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 矩阵 标准规 定型
限制150内