2022年全等三角形题型总结材料 .pdf
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1、实用文档标准文案全等三角形的判定题型类型一、全等三角形的判定1“边边边”例题、已知:如图,AD BC ,AC BD.试证明:CAD DBC. (答案)证明:连接DC ,在ACD 与BDC 中ADBCACBDCDDC 公共边ACD BDC (SSS )CAD DBC (全等三角形对应角相等)类型二、全等三角形的判定2“边角边”例题、已知,如图,在四边形ABCD 中,AC平分 BAD ,CE AB于 E,并且AE 12(AB AD ) ,求证: BD180. (答案)证明:在线段AE上,截取 EF EB ,连接 FC ,CE AB , CEB CEF 90在CBE 和CFE中,CEBCEFEC =
2、ECEBEFCBE 和CFE (SAS ) BCFE AE 12(AB AD ) ,2AE ABAD AD 2AE AB AE AF EF,AD 2(AF EF)AB 2AF 2EF AB AF AF EF EB AB AF AB AB ,即 AD AF 在AFC和ADC中(AFADFACDACACAC角平分线定义)AFC ADC (SAS ) AFC D AFC CFE 180, BCFE.AFC B180, BD180. 类型三、全等三角形的判定3“角边角”例题、 已知:如图,在 MPN 中,H是高 MQ 和 NR的交点,且 MQ NQ 求证: HN PM. 证明: MQ 和 NR是MPN
3、 的高, MQN MRN 90,又132490, 34 12 在MPQ 和NHQ 中,12MQNQMQPNQHMPQ NHQ (ASA ) PM HN 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页实用文档标准文案类型四、全等三角形的判定4“角角边”例题、已知 RtABC中,AC BC ,C 90,D为 AB边的中点, EDF 90, EDF绕 D点旋转,它的两边分别交AC 、CB于 E、F当 EDF绕 D点旋转到 DE AC于 E时(如图 1) ,易证12DEFCEFABCSSS;当 EDF绕 D点旋转到 DE和 AC不垂直时
4、,在图2 情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请写出你的猜想,不需证明.解:图 2 成立; 证明图 2:过点 D 作 DMACDNBC,则90DMEDNFMDN在AMD 和DNB 中,AMD=DNB=90ABADBDAMD DNB (AAS )DM DN MDE EDN NDF EDN 90, MDE NDF 在DME 与DNF 中,90EMDFDNDMDNMDENDFDME DNF (ASA )DMEDNFSSDEFCEFDMCNDECFS=S=SS.四边形四边形可知ABCDMCN1S=S2四边形,12DEFCEFABCSSS类型五、直角三角形全等的判定“ HL ”下列说
5、法中,正确的画“” ;错误的画“”,并举出反例画出图形 . (1)一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等()(2)有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等()(3)有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等()( 答案) (1); (2);在ABC和DBC中,AB DB ,AE和 DF是其中一边上的高,AE DF (3). 在ABC和ABD中,AB AB ,AD AC ,AH为第三边上的高,如下图:1、已知:如图, DE AC ,BF AC ,AD BC ,DE BF.求证: AB DC. ( 答案与解析) 证明: DE AC ,BF AC ,精选学习资料 - - - -
6、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页实用文档标准文案在 RtADE 与 RtCBF中.ADBCDEBF,RtADE RtCBF (HL) AE CF ,DE BF AE EF CF EF,即 AF CE 在 RtCDE 与 RtABF中,DEBFDECBFAECFARtCDE RtABF (SAS ) DCE BAF AB DC. ( 点评)从已知条件只能先证出RtADE RtCBF ,从结论又需证 RtCDE RtABF.我们可以从已知和结论向中间推进,证出题目. 2、如图, ABC中, ACB 90,AC BC ,AE是 BC边上的中线,过 C
7、作 CF AE ,垂足为 F,过 B作 BD BC交 CF的延长线于 D. (1)求证: AE CD ;(2)若 AC 12cm,求 BD的长. ( 答案与解析)(1)证明: DB BC ,CF AE , DCB D DCB AEC 90DAEC 又 DBC ECA 90,且 BC CA , DBC ECA (AAS ) AE CD (2)解:由( 1)得 AE CD ,AC BC , CDB AEC (HL ) BD EC 12BC 12AC ,且AC 12BD 6cm( 点评)三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等, 先根据已知条件或求证的结论确定
8、三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点,此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等 . 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点. 这点叫做三角形的旁心 . 三角形有三个旁心 . 所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4 个. 如图所示: ABC的内心为1P,旁心为234,PP P,这四个点到 ABC三边所在直线距离相等 . 角的平分线的性质及判定1、如图, AD是BAC的平分线, DE AB ,交 AB的延长线于点 E,DF AC于点 F,且 DB DC.求证: BE CF. ( 答
9、案) 证明: DE AE ,DF AC ,AD是BAC的平分线,DE DF ,BED DFC 90在 RtBDE 与 RtCDF中,DBDCDEDF,RtBDE RtCDF (HL ) BE CF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页实用文档标准文案2、如图, AC=DB ,PAC与PBD的面积相等求证: OP平分 AOB ( 答案与解析)证明:作 PM OA于 M ,PN OB于 N 12PACSAC PMg,12PBDSBD PNg,且PACSPBDS12AC PMg12BD PNg又AC BD PM PN 又PM
10、 OA ,PN OB OP平分 AOB ( 点评) 观察已知条件中提到的三角形PAC与PBD ,显然与全等无关,而面积相等、底边相等,于是自然想到可得两三角形的高线相等,联系到角平分线判定定理可得. 跟三角形的高结合的题目,有时候用面积会取得意想不到的效果. 3、如图, DC AB ,BAD和ADC 的平分线相交于 E,过 E的直线分别交 DC 、AB于 C 、B两点. 求证: AD AB DC. ( 答案) 证明:在线段 AD上取 AF AB ,连接 EF ,AE是BAD 的角平分线, 12,AF AB AEAE , ABE AFE , BAFE 由 CD AB又可得 C B180, AFE
11、 C180,又 DFE AFE 180, C DFE ,DE是ADC 的平分线, 34,又DE DE , CDE FDE ,DF DC ,AD DF AF ,AD AB DC 类型一、全等三角形的性质和判定如图,已知: AE AB ,AD AC ,AB AC ,BC,求证: BD CE. ( 答案) 证明: AE AB ,AD AC , EAB DAC 90EAB DAE DAC DAE ,即 DAB EAC. 在DAB与EAC 中,DABEACABACBCDAB EAC (SAS ) BD CE. 类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1) 作公共边可构造全等三角形:1、在 ABC中,AB AC
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