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1、20XX级硕士研究生应用数理统计试题参考答案(20XX年 1 月 12 日)姓名:,学号:,成绩:一、选择题(每小题 3 分,共 12 分)1. 统 计 量()Ttn分 布 , 则 统 计 量2T的(01)分 位 点2()xPTx是( B )A. 212( )tnB. 12( )tnC. 12( )tnD. 212( )tn2. 设随机变量(0,1)XN,(0,1)YN, 则( C )A. 2/XY服从 t- 分布B. 22XY服从2- 分布C. 2X和2Y都服从2- 分布D. 22/XY服从 F-分布3. 某四因素二水平试验,选择正交表78(2 )L,已填好 A,B,C 三个因子,分别在第一
2、,第四,第七列,若要避免“杂混” ,应安排因子 D在第( B )列。A. 5 B. 2 C. 3 D. 6 78(2 )L交互作用表1 2 3 4 5 6 7 (1) 3 2 5 4 7 6 (2) 1 6 7 4 5 (3) 7 6 5 4 (4) 1 2 3 (5) 3 2 (6) 1 (7) 4设总体 X服从两点分布,分布率为1(1)xxP Xxpp,其中 x=0 或1,p 为未知参数,12,nXXX 是来自总体的简单样本,则下面统计量中不是充分统计量的是(D ) 。A. 1niiXB. 11niiXnC. 111niiXnD. 11niiXpn二、填空题(每小题 3 分,共 12 分)
3、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页1. 设12,nXXX 是来自正态总体2(0,)N的简单样本,则常数 c=nmm时统计量121miinii mcXX服从 t- 分布(1)mn,其自由度为n-m 。2. 设12,nXXX 是来自正态总体2( ,)N的简单样本,其中2已知。则在满足1P XaXb的均值的置信度为1的置信区间 类 , :,Xa Xba b为常数中 区 间 长 度 最 短 的 置 信 区 间 为( ,Xa Xa) 。3. 设12,nXXX 是来自正态总体2( ,)N的简单样本,其中已知 , 则2的无偏估计2
4、2111()n1nkkSXX,22211()nnkkSX中较优的是(22S) 。4. 在双因素试验的方差分析中,总方差TS 的分解中包含误差平方和2111()pqrijEijkijkSxx,则ES 的自由度为((1)pq r) 。三、(12 分)设12,nXXX 来自指数分布1,0( )0,0 xexf xx的简单样本,(1) 试求参数的极大似然估计?, 它是否是无偏估计?(2) 求样本的 Fisher信息量; (3)求的一致方差无偏估计;(4)问?是否是的有效估计?解:(1) 联合密度函数:/)exp();,(121niinnXXXXL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
5、纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页0lnln)(ln211niiniiXndLdXnL令得到的极大似然估计XXnii1n1?00?( )xyxEE XEXxf x dxedxye dy令xy所以,X是的无偏估计。(2) ln( ; )lnxf x2223ln( ; )12f xx信息量22232ln( ; )121( )()f xExIE(3) 由于11( ;)expf xx1( )w的值域包含内点,所以1(x)niiTX是充分统计量X是(x)T的函数并且为的无偏估计,所以X为 UMVUE。(4)20222220( )2xyxEXx f x dxedxy e dy222(
6、)DXEXEX21?DDXDXnn方差下界为22()( ( )( )Var T xnIn因为?D达到了方差下界,所以?X 是的有效估计。四、(6 分,A班不作)在多元线性回归YX中,参数的最小二乘估精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页计 为1?()X XX Y , 残 差 向 量 为1?()eYYIXX XXY。 令11?()()X XX YZeIX X XXY,当2(0,)NI 时,Z 服从多元正态分布。试证明?和 e相互独立。证明:11?( ,)() ,()Cov eCov IX X XX YX XX Y11()(
7、 , )()IX X XX Cov Y YX XX121()()IX X XXIX X X2111()()() I X X XX X XX X X X211()() 0I X X XX X X所以,?和 e相互独立。五、(6 分,A班不作)设某切割机切割金属棒的长度X服从正态分布, 正常工作时,切割每段金属棒的平均长度为10.5cm。某日为了检验切割机工作是否正常,随机抽取15 段进行测量,得样本均值10.48xcm,样本方差220.056scm。在显著性水平0.05下,试问该切割机工作是否正常?(0.950.9750.950.9751.64,1.96,(14)1.7613,(14)2.144
8、8zztt)解:设检验问题为:0:10.5H1:10.5H选择枢轴量( ) (1)/xT xt nsn,由0.975( )(1)P T xtn,0.975(14)2.1448t得拒绝域为( )2.1448 WT x代入20.056,10.48sx得10.48 10.50.32732.1448/0.056/15xTsn所以不拒绝0H ,即认为该切割机工作正常。六、(6 分,B班不作)设2( ,)XN,12,nXXX 为来自 X的样本,并设的先验分布为2( ,)N,2,已知,则可知均值的 Bayes 估计为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
9、 4 页,共 6 页22221?1nXn试通过此例说明Bayes估计的特点。答:Bayes 估计有以下特点:1. 若只有先验信息而无样本时,式中0,0Xn, 则?,所以只能用先验分布估计未知参数;2. 若只有样本信息而不知道先验分布时,式中2,去除,则?X ,所以用样本的均值可以作为未知的估计;3. 当两种信息都存在时, Bayes估计是两种信息量的加权平均。 可见,Bayes能够较好的综合先验信息和样本信息,使估计的结果更精确。七、(6 分,B班不作)设12,nXXX 是来自正态总体2(0,)N的简单样本,考虑检验问题20:1H21:2H在显著水平0.05下,求最优检验( MP )的拒绝域。
10、解:联合密度函数记为212(,;)nL XXX设检验( )x是水平为0.05的 MP检验,则存在0k使1, ( )( )0, ( )xkxxk,而似然比函数为/2212112(,;2)1( )2exp(,;1)4nnniinL XXXxXL XXX令21( )niiT xX( )x是( )T x的增函数,所以00 ( ) ( )Pxk HP T xc H而在0H 成立时,2( ) ( )T xn所以 MP检验的拒绝域为21( )( )Wx T xn。八、(6 分)研究小麦品种与施肥的农田试验,考察的因素与水平如下表所示:因素水平A小麦品种B施肥量C浇水遍数D锄草遍数1 甲16 1 2 2 乙1
11、2 2 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页据经验需考虑交互作用AB, 选用正交表78(2 )L,数据如下表所示。列号试验号A B ABC D 实验数据1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 115 2 1 1 1 2 2 2 2 160 3 1 2 2 1 1 2 2 145 4 1 2 2 2 2 1 1 155 5 2 1 2 1 2 1 2 140 6 2 1 2 2 1 2 1 155 7 2 2 1 1 2 2 1 100 8 2 2 1 2 1 1 2 125 试用极差分析确定最优方案(以数据大者为好)。解:见表格A B ABC D 1jK575 570 500 540 525 2 jK520 525 595 555 570 jR55 45 95 15 45 因素主次AB A B D C(或AB A D B C) 最优方案1122A BC D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页
限制150内