第九章偏微分方程差分方法汇总.pdf
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1、.第第 9 9 章偏微分方程的差分方法章偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。 由于变量的增多和区域的复杂性,求偏微分方程的精确解一般是不可能的,经常采用数值方法求方程的近似解。 偏微分方程的数值方法种类较多,最常用的方法是差分方法差分方法。差分方法具有格式简单,程序易于实现,计算量小等优点,特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例,介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。9.19.1 椭圆型方程边值问题的差分方法椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.19.1.1 差分方程的建立差分方程的建立最典型的椭圆型方程是PoissonPoisson泊松方
2、程泊松方程2u2uu (22) f (x,y),(x,y)G9.1xyG 是 x,y 平面上的有界区域,其边界为分段光滑的闭曲线。当 f0 时,方程9.1 称为 LaplaceLaplace拉普拉斯方程拉普拉斯方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件u(x,y)9.2第二边值条件u(x,y)9.3nuku)(x,y)9.4n第三边值条件(这里,n 表示上单位外法向 ,和 k都是已知的函数,k0。满足方程9.1 和上述三种边值条件之一的光滑函数u称为椭圆型方程边值问题的解。用差分方法求解偏微分方程,就是要求出精确解 u在区域 G 的一些离散节点 xi,yi上的近似值 ui,j
3、xi,yi。 差分方法的基本思想是,对求解区域 G 做网格剖分,将偏微分方程在网格节点上离散化 ,导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程,最终通过求解差分方程,通常为一个线性方程组,得到精确解在离散节点上的近似值。设 G=0 xa, 0yb为矩形区域,在 x,y 平面上用两组平行直线x=ih1,i=0,1,N1,h1=a/N1y=jh2,j=0,1,N2,h2=b/N2将 G 剖分为网格区域,见图 9-1。h1,h2分别称为 x 方向和 y 方向的剖分步长,网格交点xi,yi称为剖分节点区域内节点集合记为Gh=xi,yi; xi,yiG,网格线与边界的交点称为边界点,边界点集合记为h。现
4、在将微分方程 9.1 在每一个内节点 xi,yi上进行离散。 在节点 xi,yi处,方程 9.1170 / 10.为2u2u2(xi,yi)2(xi,yi) f (xi,yi),(xi,yi)Gh9.5xy需进一步离散9.5 中的二阶偏导数。为简化记号,简记节点xi,yi=,节点函数值 uxi,yi=u。利用一元函数的 Taylor 展开公式,推得二阶偏导数的差商表达式代入9.5 式中,得到方程9.1 在节点处的离散形式22其中fi, j f (xi, yi)。舍去高阶小项0(h1 h2),就导出了 u的近似值 ui,j所满足的差分方程11u2uuui, j12ui, jui, j1 fi,
5、j,(i, j)Gh9.6i1, ji, ji1, j2h12h222在节点处方程9.6 逼近偏微分方程9.1 的误差为O(h1 h2),它关于剖分步长是二阶的。 这个误差称为差分方程逼近偏微分方程的截断误差截断误差,它的大小将影响近似解的精度。在差分方程9.6 中,每一个节点处的方程 仅涉及五个节点未 知量ui,j,ui+1,j,ui-1,j,ui,j+1,ui,j-1,因此通常称9.6 式为五点差分格式五点差分格式,当 h1= h2=h 时,它简化为差分方程 9.6 中,方程个数等于内节点总数,但未知量除内节点值 ui,j,Gh外,还包括边界点值。例如,点处方程就含有边界点未知量 u0,j
6、。因此,还要利用给定的边值条件补充上边界点未知量的方程。对于第一边值条件式9.2,可直接取 ui,j=xi,yi, h9.7对于第三k=0 时为第二边值条件式9.4,以左边界点为例,见图 9-2,利用一阶差商公式则得到边界点处的差分方程u0, ju1, jh1k0, ju0, j r0, j9.8联立差分方程9.6 与9.7 或9.8 就形成了求解 Poisson 方程边值问题的差分方程组,它实质上是一个关于未知量ui,j的线性代数方程组,可采用第2,3章介绍的方法进行求解。这个方程组的解就称为偏微分方程的差分近似解差分近似解,简称差分解差分解。考虑更一般形式的二阶椭圆型方程uuuu(A)(B
7、)C D Eu f (x, y),(x, y)G9.9xxyyxy171 / 10.其中 AAmin0, B Bmin 0, E 0。引进半节点xi121 xih1,2yi121 yih2,利用一阶中心差商公式,在节点i,j 处可有2u1u1u1(A)(i, j) (A)(i, j)(A)(i, j)O(h12)xxh1x2x21u(i1, j)u(i, j)u(i, j)u(i1, j)A1 A1O(h12)i , jh1i2, jh1h12uu(i1, j)u(i1, j)(i, j) O(h12)x2h1对uu(B),类似处理,就可推得求解方程9.9 的差分方程yyyai1, jui1,
8、 j ai1, jui1, j ai, j1ui, j1 ai, j1ui, j1ai, jui, j f (i, j),(i, j)Gh其中9.10h12a h(ACi, j)11i1, ji , j22h12a h(ACi, j)11i1, ji , j22h29.11(B12Di, j)ai, j1 h2i, j22h22a h(BDi, j)i, j121i, j2222ai, j h1(A1 A1)h2(B1 B1) Ei, ji , ji , ji, ji, j2222显然,当系数函数 A=B=1, C=D=E=0 时,椭圆型方程 9.9就成为 Poisson 方程9.1,而差分方
9、程9.10 就成为差分方程9.6。容易看出,差分方程9.10 的截断误差为O(h1 h2)阶。9.1.29.1.2 一般区域的边界条件处理一般区域的边界条件处理前面已假设G为矩形区域,现在考虑G为一般区域情形,这里主要涉及边界条件的处理。考虑 Poisson 方程第一边值问题172 / 1022.u f (x,y),(x,y)G9.12u (x,y),(x,y)其中 G 可为平面上一般区域,例如为曲边区域。仍然用两组平行直线:x=x0+ih1,y=y0+jh2,i,j=0,1,对区域 G 进行矩形网格剖分,见图 9-3。如果一个内节点 i,j 的四个相邻节点 i+1,j, i-1,j, i,j
10、+1 和 i,j-1 属于G G,则称其为正则内点正则内点,见图 9-3 中打。号者;如果一个节点i,j 属于G且不为正则,非正则内内点,则称其为非正则内点非正则内点,见图 9-3 中打.号者。 记正则内点集合为Gh Gh,。显然,当 G 为矩形区域时,Gh点集合为h h成立。h在正则内点i,j 处,完全同矩形区域情形,可建立五点差分格式119.13u2uuui, j12ui, jui, j1 fi, j,(i, j)Ghi1, ji, ji1, j22h1h2在方程9.13 中,当i,j 点临近边界时,将出现非正则内点上的未知量 ,因此必须补充非正则内点处的方程。若非正则内点恰好是边界点,如
11、图 9-4 中D 点,则利用边界条件可取uD=对于不是边界点的非正则内点,如图 9-4 中 B点,一般可采用如下两种处理方法。a.直接转移法直接转移法.取与点 B 距离最近的边界点如图 9-4 中 E 点上的 u 的值作为u的近似值 uB,即 uB=u=直接转移法的优点是简单易行,但精度较低,只为一阶近似。b.线性插值法线性插值法.取 B 点的两个相邻点如图 9-4 中边界点 A 和正则内点 C 作为插值节点对 u进行线性插值则得到点 B 处的方程线性插值法精度较高,为二阶近似。对每一个非正则内点进行上述处理,将所得到的方程与9.13 式联立,就组成了方程个数与未知量个数相一致的线性代数方程组
12、。求解此方程组就可得到一般区域上边值问题9.12 的差分近似解。对于一般区域上二阶椭圆型方程9.9 的第一边值问题,可完全类似处理。第二、三边值条件的处理较为复杂,这里不再讨论。9.29.2 抛物型方程的差分方法抛物型方程的差分方法本节介绍抛物型方程的差分方法,重点讨论差分格式的构造和稳定性分析。9.2.19.2.1 一维问题一维问题173 / 10.作为模型,考虑一维热传导的初边值问题u2u a2 f (x,t),0 x l,0 t T9.14txu(x,0) (x),0 x l9.15u(0,t) g1(t),u(l,t) g2(t),0 t T9.16其中 a 是正常数,f (x,t),
13、(x),g1(t) 和 g2(t)都是已知的连续的函数。现在讨论求解问题9.14-的差分方法。首先对求解区域G=0 xl, 0tT进行网格剖分。取空间步长 h=l/N,时间步长=T/M,其中 N,M 是正整数,作两族平行直线将区域 G 剖分成矩形网格,见图 9-5,网格交点xj,tk称为节点。用差分方法求解初边值问题9.14-9.16 就是要求出精确解 u在每个节点xj,tk处的近似值uju(xj,tk)。为简化记号,简记节点xj,tk=u。利用一元函数的 Taylor 展开公式,可推出下列差商表达式kuu( j,k 1)u( j,k)( j,k) O()9.17tuu( j,k)u( j,k
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