大学课件 高等数学 下学期 8-2(二重积分的计算).ppt
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1、二重积分的几何意义 在直角坐标系下计算二重积分 在极坐标系下计算二重积分 二重积分的换元法 小结,第二节 二重积分的计算,一、二重积分的几何意义,曲顶柱体,以xOy面上的闭区域D为底,侧面以D的,曲顶柱体体积=,特点,困难,边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,顶是,曲面,且在D上连续).,?,曲顶,顶是曲的,柱体体积 =,特点,分析,平顶,底面积高,解决问题的思路、步骤与,曲边梯形面积的求,法类似:,化整为零、,近似代替、,积零为整、,无限趋近.,(1) 化整为零,分为n个小曲顶柱体.,(用 表示第i个子域的面积) .,将域D任意分为n个子域,相应地曲顶柱体,(2) 近似代替,第i个小曲顶柱
2、体的体积的近似式,在每个子域内任取一点,(3) 积零为整,(4) 无限趋近,)趋于零,求曲顶柱体体积的近似值,令n个子域的直径中的最大值(记作,上述和式的极限即为曲顶柱体的体积.,(2),二重积分的几何意义,(3),(1),在D上的二重积分就等于,二重积分是,二重积分是,而在其它的部分区域上是负的.,这些部分区域上的,柱体体积的代数和.,那末,柱体体积的负值;,柱体体积;,在D上的若干部分区域上是正的,例 设D为圆域,?,二重积分,=,解,上述积分等于,由二重积分的几何意义可知,,是上半球面,上半球体的体积:,R,D,二、在直角坐标系下计算二重积分,(1) 积分区域为:,其中函数,在区间 上连
3、续.,计算截面面积,( 红色部分即A(x0) ),以D为底,以曲面,为顶的曲顶柱体的体积.,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.,是区间,为曲边的曲边梯形.,为底,曲线,是区间 为底,曲线 为曲边 的曲边梯形.,有:,先对y后对x的二次积分,称为,累次积分.,(2) 积分区域为:,先对x后对y的二次积分,也即,其中函数,在区间,上连续.,计算结果一样.,又是Y型:,(3)积分区域D既是X型:,但可作出适当选择.,(4) 若区域如图,在分割后的三个区域上分别使用积分公式.,(用积分区域的可加性质),则必须分割.,例1,解1,将D看成X型区域,例1,解2,将D看成Y型区域,D1,D2
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