置信区间详细定义及计算 (2).ppt
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1、现在学习的是第1页,共39页2这种形式的估计称为区间估计区间估计.前面,我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是点估计值仅仅是未知参数的一个近似值,它没有反映出这个近似值的误差范围,使用起来把握不大.范围通常用区间的形式给出的。较高的可靠程度相信它包含真参数值.也就是说,我们希望确定一个区间,使我们能以比 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的,称为置信概率,置信度或置信水平.习惯上把置信水平置信水平记作 1 ,这里 是一个很小的正数,称为显著水平显著水平。现在学习的是第2页,共39页3),(2111nXXX),(2122nXXX)(21若由总体X的样本 X1,X2,X
2、n 确定的,21则称 为随机区间。两个统计量随机区间与常数区间),(ba不同,其长度与在数轴上的位置与样本nXXX,21有关。当一旦获得样本值nxxx,21那么,),(211nxxx),(212nxxx都是常数。,21为常数区间。现在学习的是第3页,共39页4121P若满足 设 是总体X的 一个未知参数,,10的置信区间置信区间.121和(双侧置信区间).的置信水平(置信度)为分别称为置信下限和置信上限为显著水平.1为置信度,则称区间 是,21,21若存在随机区间对于给定的现在学习的是第4页,共39页5置信水平的大小是根据实际需要选定的.121P根据一个实际样本,,21,使一个尽可能小的区间
3、由于正态随机变量广泛存在,指标服从正态分布,特别是很多产品的我们重点研究一个正态总体情形由给定的置信水平,我们求出975.01即取置信水平 或 0.95,0.9 等.例如,通常可取显著水平 等.,1.0,05.0,025.0数学期望 和方差 的区间估计。2现在学习的是第5页,共39页6设nXXX,21为总体),(2NX的样本,2,SX分别是样本均值和样本方差。对于任意给定的,我们的任务是通过样本寻找一它以1的概率包含总体X的数学期望。个区间,现在学习的是第6页,共39页7设),(2NX),(2nNXnXDXE2则随机变量)1,0(2NnXZ1 1、已知、已知2 2时,时,的置信区间的置信区间令
4、221XPzn 22z22z现在学习的是第7页,共39页8221XPzn 2221XPzzn,22znXznX这就是说随机区间它以1的概率包含总体 X的数学期望。由定义可知,此区间即为的置信区间置信区间。221PzXznn 122znXznXP22z22z现在学习的是第8页,共39页9,22znXznX置信区间也可简记为2znX 它以1的概率包含总体X的数学期望。由定义可知,此区间即为的置信区间置信区间。其置信度为 1。置信下限2znX 置信上限2znX 22z22z现在学习的是第9页,共39页1016195.0105.0n查表得0.02521.96zz若由一个样本值算得样本均值的观察值20.
5、5x则得到一个区间(5.200.49)(4.71,5.69)我们称其为置信度为0.95的的置信区间。其含义是:若反复抽样多次,每个样本值(n=16)按公式1.961.96(,)44xx即(0.49)x确定一个区间。,22znXznX现在学习的是第10页,共39页11(0.49,0.49)xx确定一个区间。在这么多的区间内包含的占0.95,不包含的占0.05。本题中(4.71,5.69),属于那些包含的区间的可信程度为0.95.或“该区间包含”这一事实的可信程度注:的置信水平1的置信区间不唯一。为0.95.现在学习的是第11页,共39页12当 n 充分大时,无论X服从什么分布,都近似有)1,0(
6、NnDXEXXZ的置信区间是总体),(2NX的前提下提出的。均可看作EX的置信区间。,22znXznX现在学习的是第12页,共39页13 设总体X N(,0.09),有一组样本值:12.6,13.4,12.8,13.2,求参数的置信度为0.95的置信区间.解解的置信区间为22,XzXznn00 代入样本值算得 ,12.706,13.294.得到的一个区间估计为注:该区间不一定包含注:该区间不一定包含.0.02521.96zz有 1=0.95,0=0.3,n=4,0.30.313 1 96,13 1.9622.13x 现在学习的是第13页,共39页1405.0可以取标准正态分布上分位点z0.04
7、 和 z0.01,则又有0.040.0120.95XPzzn0.010.040.95P XzXznn则的置信度为0.95的置信区间为0.010.04,XzXznn与上一个置信区间比较,同样是95.01其区间长度不一样,上例0.025123.920.984zn比此例0.040.0111()4.081.0244zz短。01.001.0z04.004.0z现在学习的是第14页,共39页15第一个区间为优(单峰对称的)。可见,像 N(0,1)分布那样概率密度的图形是单峰且对称的情况。当n固定时以2znX 的区间长度为最短,我们一般选择它。若以L为区间长度,则22znL 可见L随 n 的增大而减少(给定
8、时),有时我们嫌置信度0.95偏低或偏高,也可采用0.99或0.9.对于 1 不同的值,可以得到不同的置信区间。现在学习的是第15页,共39页16估计在区间 内.,21 这里有两个要求:),(2111nXXX只依赖于样本的界限(构造统计量)可见,对参数 作区间估计,)(21 就是要设法找出两个),(2122nXXX一旦有了样本,就把2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度12 尽可能短,或能体现该要求的其它准则.,21 1.要求 很大的可能被包含在区间 内,21 P就是说,概率即要求估计尽量可靠.要尽可能大.可靠度与精度是一对矛盾,条件下尽可能提高精度.一般是在保证可靠度的现在学习的是第16
9、页,共39页17已知某种油漆的干燥时间X(单位:小时)服从正态分布),1,(NX其中未知,现在抽取25个样品做试验,得数据后计算得62511nkkxx取05.0(10.95),求的置信区间。解解0.02521.96zz625xn2znx392.0696.1516所求为5.608,6.392.现在学习的是第17页,共39页18中随机地抽查了9人,其高度分别为:;,置信度为假设标准差%9570的置信区间。试求总体均值由样本值算得:解:已知.05.0,9,70n.115)110120115(91x,由此得置信区间:查正态分布表得临界值96.12Z57.119,43.1109/796.1115,9/7
10、96.1115已知幼儿身高现从56岁的幼儿115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;,22znXznX2(,),XN 现在学习的是第18页,共39页19当总体X的方差未知时,容易想到用样本方差 2代替2 2。已知已知)1(2ntnSXT则对给定的,令1)1(22ntnSXP查t 分布表,可得)1(2nt的值。则的置信度为1 的置信区间为1)1()1(22ntnSXntnSXP)1(),1(22ntnSXntnSX)1(2ntnSX现在学习的是第19页,共39页2040名旅游者。解解本题是在2 2未知的条件下求正态总体参数的置信区间。选取统计量为05.0由公式知
11、的置信区间为查表0227.2)39()39(025.0205.0 tt则所求的置信区间为95.113,05.96为了调查某地旅游者的消费额为X,随机访问了得平均消费额为105x元,样本方差2228s设求该地旅游者的平均消费额的置信区间。)1(2ntnSXT)1(2ntnSX若2 22525的置信区间为2znX 96.1405105即55.106,45.103),(2NX现在学习的是第20页,共39页21用某仪器间接测量温度,重复测量5次得0000012751260124512651250求温度真值的置信度为 0.99 的置信区间。解解设为温度的真值,X表示测量值,通常是一个正态随机变量 .EX
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