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1、关于矢量和标量的定义现在学习的是第1页,共19页一、矢量和标量的定义一、矢量和标量的定义1.1.标量:标量:只有大小,没有方向的物理量。只有大小,没有方向的物理量。矢量矢量表示为:表示为:所以:一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。所以:一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。其中:其中:为矢量的模,表示该矢量的大小。为矢量的模,表示该矢量的大小。为单位矢量,表示矢量的方向,其大小为为单位矢量,表示矢量的方向,其大小为1 1。|A a2.2.矢量:矢量:不仅有大小,而且有方向的物理量。不仅有大小,而且有方向的物理量。如如:力力 、速度、速度 、电场、电场 等等FEv如:温度如:温度 T
2、T、长度、长度 L L 等等AeAaAaAA现在学习的是第2页,共19页二、矢量的运算法则二、矢量的运算法则1.1.加法加法:矢量加法是矢量的几何和矢量加法是矢量的几何和,服从服从平行四边形规则平行四边形规则。a.a.满足交换律满足交换律:ABBAb.b.满足结合律满足结合律:CABBACBAC()()()()ABCDACBD现在学习的是第3页,共19页zoyx三个方向的单位矢量用三个方向的单位矢量用 表示。表示。,xyzaaa根据矢量加法运算:根据矢量加法运算:xyzAAAA,xxxyyyzzzAA aAA aAA a所以所以:xxyyzzAA aA aA a在直角坐标系下的矢量表示在直角坐
3、标系下的矢量表示:AxAyAzA其中其中:现在学习的是第4页,共19页矢量:矢量:xxyyzzAA aA aA a模的计算模的计算:222|xyzAAAA单位矢量单位矢量:|yxzxyzAAAAaaaaAAAA方向角与方向余弦方向角与方向余弦:,|cos,|cos,|cosAAAAAAzyxcoscoscosxyzaaa在直角坐标系中三个矢量加法运算:在直角坐标系中三个矢量加法运算:()()()xxxxyyyyzzzzABCABC aABC aABC azoyxAxAyAzA现在学习的是第5页,共19页2.2.减法:减法:换成加法运算换成加法运算()DABAB ABCBAB逆矢量:逆矢量:和和
4、 的模相等,方向相反,互为逆矢量。的模相等,方向相反,互为逆矢量。B()BDBADABC0在直角坐标系中两矢量的减法运算:在直角坐标系中两矢量的减法运算:()()()xxxyyyzzzABAB aAB aAB a推论:推论:任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形,其矢量和必为零任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形,其矢量和必为零。现在学习的是第6页,共19页3.3.乘法:乘法:(1 1)标量与矢量的乘积:)标量与矢量的乘积:0|00kkAk A akk方向不变,大小为|k|倍方向相反,大小为|k|倍(2 2)矢量与矢量乘积分两种定义)矢量与矢量乘积分两种定义a.a.标量积(点积):标量积(点积):|
5、cosA BABBA两矢量的点积两矢量的点积含义:含义:一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积,其一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积,其结果是一标量。结果是一标量。现在学习的是第7页,共19页在直角坐标系中在直角坐标系中,已知三个坐标轴是相互正交的,即,已知三个坐标轴是相互正交的,即0,0,01,1,1xyxzyzxxyyzzaaaaaaaaaaaa有两矢量点积:有两矢量点积:()()xxyyzzxxyyzzA BA aA aA aB aB aB a zzyyxxBABABA结论结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论推论1 1:满足交
6、换律:满足交换律推论推论2 2:满足分配律:满足分配律推论推论3 3:当两个非零矢量点积为零:当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。则这两个矢量必正交。A BB A()ABCA BA C现在学习的是第8页,共19页推论推论1 1:不服从交换律:不服从交换律:,A BB AA BB A 推论推论2 2:服从分配律:服从分配律:()AB CA BA C推论推论3 3:不服从结合律:不服从结合律:()()AB CA BC推论推论4 4:当两个非零矢量叉积为零,则这两个矢量必平行。:当两个非零矢量叉积为零,则这两个矢量必平行。b.b.矢量积(叉积):矢量积(叉积):|sincABABa含义:含义
7、:两矢量叉积,结果得一新矢量,其大小为这两个矢量组成的平行四两矢量叉积,结果得一新矢量,其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积,方向为该面的法线方向,且三者符合右手螺旋法则。边形的面积,方向为该面的法线方向,且三者符合右手螺旋法则。BAca现在学习的是第9页,共19页在直角坐标系中,两矢量的叉积运算如下:在直角坐标系中,两矢量的叉积运算如下:xyzxyzxyzaaaABAAABBB()()x xy yz zx xy yz zA BAaAaAaBaBaBa ()()()yzzyxzxxzyxyyxzABAB aABAB aABAB a两矢量的叉积又可表示为:两矢量的叉积又可表示为:xyzo现在
8、学习的是第10页,共19页(3 3)三重积:)三重积:三个矢量相乘有以下几种形式:三个矢量相乘有以下几种形式:()A B C矢量,标量与矢量相乘。矢量,标量与矢量相乘。()ABC标量,标量三重积。标量,标量三重积。矢量,矢量三重积。矢量,矢量三重积。a.a.标量三重积标量三重积法则:在矢量运算中法则:在矢量运算中,先算叉积先算叉积,后算点积。后算点积。定义定义:()|sincosABCA B C()ABC含义:含义:标量三重积结果为三矢量构成的平行标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积六面体的体积 。ABChB C 现在学习的是第11页,共19页注意注意:先后轮换次序。先后轮换次序。推论
9、推论:三个非零矢量共面的条件。三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中:在直角坐标系中:()0ABC()xyzxyzxyzAAAABCBBBCCC()()xyzxxyyzzxyzxyzaaaAB CA aA aA aBBBCCCb.b.矢量三重积矢量三重积:()()()AB CB A CC A B ()()()VABCCABBCAABChB C现在学习的是第12页,共19页4.矢量的微积分矢量的微积分(a)矢量的微分矢量的微分(1)()()()(2)()(3)()(4)()ddAdBABdtdtdtd f t Adf tdAAf tdtdtdtddBdAA BABdtdtdtddBdAABABd
10、tdtdt只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可:只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可:现在学习的是第13页,共19页作为作为(1)式的特例,对直角坐标下的矢量:式的特例,对直角坐标下的矢量:xyzAA iA jA kyxzdAdAdAdAijkdtdtdtdt有有作为作为(2)式的例子,在球坐标下的矢量:式的例子,在球坐标下的矢量:AAAeAAdedAdAeAdtdtdt有有现在学习的是第14页,共19页(b)矢量的积分矢量的积分(1)对时间)对时间 t 的积分:的积分:2211222111()()()()ttxyztttttxyztttAdtA iA jA k dtA dt iA d
11、t jA dt k(2)沿曲线)沿曲线 s 的线积分:的线积分:222111()()xyzssxyzxyzxyzA dsA iA jA kdxidyjdzkA dxA dyA dz现在学习的是第15页,共19页例2:12342,3223,325xyzxyzxyzxyzraaaraaaraaaraaa 求:4123rarbrcr中的标量 a、b、c。解:325(2)(32)(23)xyzxyzxyzxyzaaaaaaab aaacaaa(22)(3)(23)xyzabc aabc aabc a 则:设213abc 22332235abcabcabc现在学习的是第16页,共19页例3:已知263xyzAaaa43xyzBaaa求:确定垂直于 、所在平面的单位矢量。AB解:已知AB所得矢量垂直于 、所在平面。ABnABaAB 263151030431xyzxyzaaaABaaa1(326)7nxyzaaaa 222|15(10)3035AB 现在学习的是第17页,共19页已知A点和B点对于原点的位置矢量为 和 ,求:通过A点和B点的直线方程。例4:ab()cak ba其中:k 为任意实数。(1)ck akbxyzCcABab解:在通过A点和B点的直线方程上,任取一点C,对于原点的位置 矢量为 ,则c现在学习的是第18页,共19页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第19页,共19页
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