标量场的方向导数和梯度.ppt
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1、第一章 矢量分析 1.2 标量场的方向导数和梯度主要内容v方向导数v梯度学习目的v掌握方向导数、梯度的物理含义及计算方法v掌握方向导数与梯度之间的区别与联系1.2.1 标量场的方向导数标量场的方向导数标量函数 在M0处沿l方向的方向导数为推论:表示沿l方向增加表示沿l方向减少表示沿l方向不变含义:表示标量场 在点M0处沿l方向的变化规律。(1)(2)(3)方向导数计算公式:【例】求函数 在点M(1,-2,-1)处沿矢量 方向的方向导数。【解】矢量l在点M处的值为其方向余弦为故1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度 在P点沿哪个方向变化率最快?由方向导数的定义可知:沿等值面法线n的方向导数最大。故
2、定义梯度大小:最大变化率方向:最大变化率的方向即过该点的等值面法线方向其中,称为哈密顿算子。梯度的计算公式推导如下:令方向矢量其单位矢量为令某一常矢量又因为故当G与l方向一致时方向导数最大即为梯度,且方向导数与梯度的关系:在圆柱坐标系中:在球坐标系中:在任意正交曲线坐标系中:在不同的坐标系中,梯度的计算公式:在直角坐标系中:对于距离矢量 有以下常用结论:总结:(1)为矢量,表示过某点的变化率最大,变化最快。(2)方向垂直于过某点的等值面,即沿法线方向。(3)沿某方向l的方向导数为梯度在该方向l上的投影。【例】求标量场 在点 与点 处梯度的大小和方向余弦。在哪点上的梯度为0?在点 处方向余弦在点 处方向余弦【解】:标量场的梯度为:所以 若令梯度等于0,即满足方程 所以 解得 故在点 处梯度为0【例1-5】求r在M(1,0,1)处沿 方向的方向导数。【解】方法一:利用梯度间接求解【解】方法二:利用公式直接求解总结v主要内容 方向导数 梯度(矢量)方向导数与梯度的关系作业:作业:P20 1-5、1-6
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