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1、关于常微分方程奇解和包络第一页,讲稿共二十六页哦一、包络和一、包络和奇解奇解1 包络的定义包络的定义定义定义1:对于给定的一个单参数曲线族:对于给定的一个单参数曲线族:)1(,0),(cyx,),(,的连续可微函数是是参数其中cyxcyxc曲线族(1)的包络包络是指这样的曲线,它本身不包含在曲线(1)中,但过这曲线的每一点有(1)中的一条曲线和它在这点相切.第二页,讲稿共二十六页哦对于给定的一个单参数曲线族:对于给定的一个单参数曲线族:0),(:cyxlc其中RIc为参数.若存在一条曲线,l满足下列条件:(1);Iccll(2)对任意的 ,00lyx存在唯一的,0Ic 使得000,clyx且l
2、与0cl在有相同的切线.则称l为曲线族0),(:cyxlc的一条包络线,简称为包络.00,xy或定义:或定义:第三页,讲稿共二十六页哦例如单参数曲线族:222)(Rycx(其中R是常数,c是参数)表示圆心为(c,0)而半径等于R的一族圆.如图R从图形可见,此曲线族的包络显然为:.RyRy和第四页,讲稿共二十六页哦注:并不是每个曲线族都有包络.例如:单参数曲线族:222cyx(其中c为参数)表示一族同心圆.如图从图形可见,此曲线族没有包络.第五页,讲稿共二十六页哦问题问题:对于给定的单参数曲线族对于给定的单参数曲线族:0),(cyx.是参数其Ic如何判断它是否有包络如何判断它是否有包络?如果有包
3、络如果有包络,如何求如何求?根据定义,假设该单参数曲线族有包络,l则对任意的,lyx存在唯一的,Ic使得.,clyx于是得到对应关系:,:Ilc).,(),(yxcyx第六页,讲稿共二十六页哦从而得到二元函数lyxyxcc),(),(使得.),(,0),(,(lyxyxcyx若l可用参数形式表示为:),(),(),(ttytx记),()(),(tcttcc则),(,0)(),(),(ttctt于是,.0dtdcdtddtdcyx第七页,讲稿共二十六页哦l上任取一个固定点M,则M在某一条曲线cl上.由于l与cl在M点有相同的切线,而l与cl在M点的切线的斜率分别为dxdy与,yx所以,有从而.0
4、dtdcc,0dtddtdyx由于在l上不同的点也在不同的cl上,即,0dtdc因此.0c现在第八页,讲稿共二十六页哦因此,包络线l任意一点M不仅要满足,0),(cyx而且还要满足.0),(cyxc把联立方程组:0),(0),(cyxcyxc中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线*l称为曲线族 Iccl的c-判别曲线第九页,讲稿共二十六页哦0),(0),(cyxcyxc的称为曲线)1(0),(yxF2 包络的求法包络的求法曲线族(1)的包络包含在下列两方程,0),(之中而得到的曲线消去参数yxFc.判别曲线c.还有其它曲线判别曲线有时除包络外c注注:)1(,0),(cyx第十页,讲
5、稿共二十六页哦解解:记,0)(32)(),(32cxcycyx则)31.3(0)()()30.3(0)(32)(232cxcycxcy得代入把为了消去)30.3()31.3(,c0)(32)(34cxcx即例例1:的包络.求曲线族0)(32)(32cxcy032)()(3cxcx第十一页,讲稿共二十六页哦,不是包络容易验证xy 因此c-判别曲线包括两条曲线(2)和(3),)2(xy 得从0cx得从032cx)3(92 xy032)()(3cxcx.92是包络而直线 xy第十二页,讲稿共二十六页哦xyO第十三页,讲稿共二十六页哦例例2:求直线族:0sincospyx的包络.这里是参数,p是常数.
6、解解:记,0sincos),(pyxyx则.0cossin,0sincosyxpyx消去参数,得.222pyx0sincospyx的c-判别曲线:经验证222pyx是曲线族0sincospyx的包络.如图:第十四页,讲稿共二十六页哦Opxy第十五页,讲稿共二十六页哦3 奇解奇解定义定义2:微分方程的某一解称为奇解,如果在这个解的每一点还有方程的另外一个解存在.注:一阶微分方程的通解的包络一定是奇解;反之微分方程的奇解(若存在)也是微分方程的包络.例如:的解为方程2)(22xdxdyxdxdyy22,2xycxcc为参数.42也是方程的解此外xy.,2422因此它为奇解的包络是通解ccxxyxy
7、第十六页,讲稿共二十六页哦第十七页,讲稿共二十六页哦4 奇解的求法奇解的求法)4(,0),(dxdyyxF方程的奇解包含在由方程组(,)0(3.34)(,)0pF x y pFx y p,0),(之中而得到的曲线消去参数yxp的此曲线称为)34.3(.判别曲线p.,尚需进一步讨论奇解判别曲线是否为方程的p注注:.,),(的连续可微函数是这里pyxpyxF第十八页,讲稿共二十六页哦例例3:求微分方程0122ydxdy的奇解.解解:从.02,0122pyp消去p(实际上p=0),得到p-判别曲线,12y即.1y为任常数ccxy),sin(.,1且正好是通解的包络也是微分方程的解而y由于方程的通解为
8、:.11是方程的奇解和两曲线yy第十九页,讲稿共二十六页哦三、克莱罗(三、克莱罗(Clairaut)方程)方程1 定义3:形如dxdyfdxdyxy的方程,称为克莱罗(Clairaut)方程.)(的连续可微函数是这里ppf第二十页,讲稿共二十六页哦为求它的解,令,dxdyp 得).(pfxpy即得代入并以求导两边对,pdxdyx,)(dxdppfpdxdpxp经化简,得.0)(pfxdxdp2 克莱罗(Clairaut)方程的求解dxdyfdxdyxy这是y已解出的一阶微分方程.第二十一页,讲稿共二十六页哦如果,0dxdp则得到.cp.0)(pfxdxdp于是,Clairaut方程的通解为:)
9、.(cfcxy如果,0)(pfx它与等式)(pfxpy联立,则得到Clairaut方程的以p为参数的解:)(0)(pfxpypfx或)(0)(cfxcycfx其中c为参数.消去参数p便得方程的一个解.第二十二页,讲稿共二十六页哦结果结果:Clairaut方程dxdyfdxdyxy的通解)(cfcxy是一直线族,此直线族的包络)(0)(pfxpypfx或)(0)(cfxcycfx是Clairaut方程的奇积分曲线,所对应的解是奇解.如果令,0)(),(ycfxccyx则,0)(),(cfxcyxc因此,求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样.易验证,此参数曲线恰为通解的包络第二十三页,讲稿共二十六页哦例例4:求解方程.1yxyy解解:这是Clairaut方程,因而它有通解:.1ccxy其中.1)(yyf因为,1)(ccf所以.1)(2ccf从ccxycx1012中消去参数c,得到原方程的奇解:.42xy 第二十四页,讲稿共二十六页哦xyOxy42.42xy如图:故,此方程的通解是直线族:,1ccxy而奇解是通解的包络:第二十五页,讲稿共二十六页哦感谢大家观看感谢大家观看第二十六页,讲稿共二十六页哦
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