矩阵的秩及其求法讲稿.ppt
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1、关于矩阵的秩及其求法第一页,讲稿共二十二页哦21.k 阶子式阶子式定义定义1 设设 nmijaA在在A中任取中任取k 行行k 列交叉列交叉),min1(nmkk称为称为A的一个的一个k 阶子式。阶子式。阶阶行列式行列式,处元素按原相对位置组成的处元素按原相对位置组成的一、矩阵的秩的概念一、矩阵的秩的概念设设110145641321A,例如例如矩阵矩阵A 的第一、三行,第二、四列相交处的元素的第一、三行,第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为所构成的二阶子式为10122D第二页,讲稿共二十二页哦3设设110145641321A,共有共有182423CC个二阶子式,有个二阶子式,有43334CC
2、个三阶子式。个三阶子式。例如例如而1015643213D为为 A 的一个三阶子式。的一个三阶子式。显然,显然,nm矩阵矩阵 A 共有共有knkmcc个个 k 阶子式。阶子式。第三页,讲稿共二十二页哦2.矩阵的秩矩阵的秩nmijaA设,有有r 阶子式不为阶子式不为0 0,任何任何r+1阶阶记作记作R(A)或秩或秩(A)。子式子式(如果存在如果存在的话的话)全为全为0,定义定义2称称r为矩阵为矩阵A的秩,的秩,二、矩阵秩的二、矩阵秩的求法求法1、子式判别法、子式判别法(定义定义)。例例1为阶梯形矩阵,为阶梯形矩阵,求R(B)。解解01021,由于由于二阶子式不为二阶子式不为0,所以所以 R(B)=
3、2.1021B第四页,讲稿共二十二页哦010010100321A例例2求R(A)。5解:解:存在一个三阶子式不为存在一个三阶子式不为0,所以所以 R(A)=3.01100010321 A没有没有4阶子式,阶子式,第五页,讲稿共二十二页哦6例如例如 100010011C 3CR125034000D2R D 21235081530007200000E 3R E 一般地,一般地,行阶梯形矩阵的秩等于其行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数台阶数”非零行的行数。非零行的行数。第六页,讲稿共二十二页哦7aaaA111111,3AR如果1a求 a.解解 3ARaaaA1111110)1)(2(2aa或2a例例3
4、设设分析:R(A)3,A所有的3阶子式为零,即A的行列式为零。第七页,讲稿共二十二页哦8KKKKA111111111111 3AR则K3例例331 1111113(1)(3)1 111 11KAKKKKK0 31 KK或或 11111111111111111AK时时,A有非零的1阶子式,但A所有的2阶子式都为0,所以R(A)=1舍去K=1。得K=-3。分析:R(A)=34,A所有的4阶子式为零,即A的行列式为零。第八页,讲稿共二十二页哦92、用初等变换法求矩阵的秩、用初等变换法求矩阵的秩定理定理1 矩阵初等变换不改变矩阵的秩矩阵初等变换不改变矩阵的秩。即BA则则)()(BRAR注:注:jirr
5、.1只改变子行列式的符号。只改变子行列式的符号。irk.2是是 A 中对应子式的中对应子式的 k 倍。倍。jikrr.3是行列式运算的性质。是行列式运算的性质。第二种求矩阵第二种求矩阵A的秩方法:的秩方法:1)2)R(B)等于非零行行数,)等于非零行行数,)()(BRARBA阶阶梯梯型型矩矩阵阵第九页,讲稿共二十二页哦10例例4211163124201A解解R(A)=2 000021104201,21102110420113rr 122rrA求.AR第十页,讲稿共二十二页哦求矩阵求矩阵 13142781221124A的秩。的秩。解解1314278112422121rrA910091009100
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