ppt3-轴向径向摆.pdf
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1、 1/题目介绍2/初步实验3/理论分析4/实验验证5/总结6/参考文献 目录 / CONTENTS Part 1.题目介绍 11. Azimuthal-Radial Pendulum 3 11.Azimuthal-Radial Pendulum Fix one end of a horizontal elastic rod to a rigid stand. Support the other end of the rod with a taut string to avoid vertical deflection and suspend a bob from it on another s
2、tring. In the resulting pendulum the radial oscillations (parallel to the rod) can spontaneously convert into azimuthal oscillations (perpendicular to the rod) and vice versa. Investigate the phenomenon. 11. 轴向径向摆 一将水平弹性杆的一端固定在刚性支架上。用拉紧的绳子来支撑 杆的另一端以避免垂直的偏转,然后在线的另一端悬挂一个物体 (如图)。在生成的摆动上,径向振荡(平行于杆)可以自发的
3、转 化为轴向振荡(垂直于杆),反之亦然。研究这一现象 关键词:弹性杆;避免垂直的偏转;径向振荡; 自发地转化 Part 2.初步实验 4 实验装置图 铁架台 拉紧的绳子 弹性杆 悬线 摆球 图1.径向摆实验装置图 11. Azimuthal-Radial Pendulum Part 2.初步实验 5 实验现象 11. Azimuthal-Radial Pendulum Part 2.初步实验 6 定性现象: (1)径向释放摆球不久会有横向运动参量 (2)弹性杆会出现横向振动 (3)摆球的运动轨迹具有混沌的特点 主要探究内容: (1)摆球混沌运动构成的轨迹 (2)微小改变实验参数得到的轨迹变化
4、(3)各方向上摆球的运动规律 11. Azimuthal-Radial Pendulum Part 3.理论分析 7 参数说明: 参数对应的物理意义 摆线长度(23.46cm) 摆球质量(36g) 动能 势能 弹性杆有效长度(30.50cm) 摆球横向坐标 摆球径向坐标 摆球竖直坐标 杆悬点横向坐标 切变模量(0.44N/m) l m T V a x y z q 11. Azimuthal-Radial Pendulum n 图2.模型示意图 x y z Part 3.理论分析 8 求解杆的能量 任意时刻杆的动能: 设杆的线密度为,取微元线积分: 任意时刻杆的势能: 由弹性杆的伯努利-欧拉定律
5、: 得到切变弹性势能密度: 2 0 2 1 6 )( 2 1 q a dmq a r T a R YIM 1 2 2 1 a q nU (1) (2) (3) 11. Azimuthal-Radial Pendulum 图2.模型示意图 x y z Part 3.理论分析 9 其中n为切变模量: 表征切胁量与切变角的比值。 从而得到杆的势能: 求解摆球的能量: 任意时刻摆球的动能: 任意时刻摆球的势能: )1(2 Y n a q nSV 2 1 2 1 2 2 2 1 mvT mgzV 2 (4) (5) (6) (7) 11. Azimuthal-Radial Pendulum 图2.模型示
6、意图 x y z Part 3.理论分析 10 从上述分析建立直角坐标系,得到: 摆球位置矢量: 杆悬点位置矢量: 从而得到悬线长度对z的约束方程: 求时间一阶导,得到摆球速度表达式: ),( 1 zyxr )0 ,0 ,( 2 qr 2222 )(lzyqx zyxv, (8) (9) (11) (12) 11. Azimuthal-Radial Pendulum 图2.模型示意图 x y z Part 3.理论分析 11 联立上式得拉格朗日函数: 应用主动力均为保守力的拉格朗 日方程,列写三个自由度下的动力学方 程: 其中的拉格朗日函数表达式为: VTL (13) (14) 11. Azi
7、muthal-Radial Pendulum q L q L dt d (15) 图2.模型示意图 x y z Part 3.理论分析 12 11. Azimuthal-Radial Pendulum 利用拉格朗日乘子法代入约束条件: 得到摆球的三个方向的运动方程和 杆的自由度方程描述如下: (16) (17) (18) (19) (20) 下面将对上述分析结果进行数值计 算仿真。图2.模型示意图 x y z Part 3.理论分析 13 由于该非线性方程中自由度x的变 化非常大,不再适宜用微扰法进 行线性近似。此处利用 MATHEMATICA对上述公式进行 数值作图如图1。 T:运行时间 k
8、:弹性杆切变模量 :摆线长度 :初始释放位置 :初始释放速度(置零) 下面对其图像性质进行分析。 0 l )0(),0( r )0(),0( , r 图3.径向摆的理论图像 11. Azimuthal-Radial Pendulum Part 3.理论分析 14 将该不可积系统的哈密顿函数 表示为如下形式之后: 联立上式,利用KAM定理得到: 在0c1时的弱扰动下,系统 的运动轨道是稳定的。若要使之出 现完全不可预测的随机运动,需要 破坏以下两个条件: (1)不可积的扰动较小 (2)H中可积的H0满足非共振条件: 代入可解谐振子的H0得条件(2) 恒成立,从而图案是稳定的。 ),()( 10
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