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1、橡胶马达橡胶马达 00 概述00 概述 01 题意阐释01 题意阐释 02 橡胶带拉伸特性测试02 橡胶带拉伸特性测试 03 橡胶带的热力学分析03 橡胶带的热力学分析 04 橡胶带驱动螺旋桨测试04 橡胶带驱动螺旋桨测试 05 橡胶带输出功率的理论计算05 橡胶带输出功率的理论计算 06 橡胶带输出功率的测试06 橡胶带输出功率的测试 07 总结07 总结 08 参考文献08 参考文献 2 01 题意阐释01 题意阐释 扭转的橡胶带扭转的橡胶带储存着能量,比如可以用来驱动航模。探储存着能量,比如可以用来驱动航模。探 究这一究这一能源的性质能源的性质,以及其,以及其输出功率输出功率随时间的变化
2、。随时间的变化。 A twisted rubber band stores energy and can be used to power a model aircraft for example. Investigate the properties of such an energy source and how its power output changes with time. 3 02 橡胶带拉伸特性测试02 橡胶带拉伸特性测试 4 首先考虑最简单的情况:橡胶带沿轴线方向被拉伸,进行测试。首先考虑最简单的情况:橡胶带沿轴线方向被拉伸,进行测试。 橡 胶 带 螺旋桨 支 撑 杆 用于
3、驱动航模的橡胶带被扭转,用于驱动航模的橡胶带被扭转, 松手后可带动螺旋桨转动。松手后可带动螺旋桨转动。 5 02 橡胶带拉伸特性测试02 橡胶带拉伸特性测试 钢尺, 橡皮带 尖嘴钳 拉力 传感 器 取橡胶带初始长度9.20cm,进行拉伸测试。取橡胶带初始长度9.20cm,进行拉伸测试。 测试图像如下图所示:测试图像如下图所示: 6 02 橡胶带拉伸特性测试02 橡胶带拉伸特性测试 00 / .LLLL定义橡胶带原长为 ,拉伸后长度为,伸长比 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 0.00.51.01.52.02.53.03
4、.54.04.55.0 (N)f 从宏观角度来看,橡胶带被拉伸从宏观角度来看,橡胶带被拉伸dL时,内部张力做功时,内部张力做功 f dL,由热力学第一定律,由热力学第一定律, 有有 对于很细的橡皮筋,拉伸过程中对于很细的橡皮筋,拉伸过程中 则有则有 选择长度选择长度L和温度和温度T作为自变量,则有:作为自变量,则有: 同时有麦克斯韦关系:同时有麦克斯韦关系: 7 03 橡胶带的热力学分析03 橡胶带的热力学分析 0dV dUTdSfdL(2) TT US fT LL (3) dUTdSPdVfdL(1) LT fS TL (4) 橡胶为高分子链,等温拉伸时原子与原子间距不变,橡胶为高分子链,等
5、温拉伸时原子与原子间距不变, 分子与分子间距也几乎不变,因此分子间吸引力几乎分子与分子间距也几乎不变,因此分子间吸引力几乎 不变,故拉伸时内能不变。不变,故拉伸时内能不变。 即有:即有: 所以(3)式可以化为:所以(3)式可以化为: 上式右边化为橡皮带等长收缩系数。上式右边化为橡皮带等长收缩系数。 8 03 橡胶带的热力学分析03 橡胶带的热力学分析 0 T U L , TL Sf fTT LT (5) 而从统计物理角度,建立高斯链模型:而从统计物理角度,建立高斯链模型: 令大分子链一段固定在原点,另一端落在令大分子链一段固定在原点,另一端落在空间分一点的几率服从高斯分布。空间分一点的几率服从
6、高斯分布。 利用微正则分布方法,可得到橡胶带的物态方程:利用微正则分布方法,可得到橡胶带的物态方程: 令令 则有:则有: 9 03 橡胶带的热力学分析03 橡胶带的热力学分析 2 00 2 00 B N k TLL f LLL (6) 0 00 1 B N kL A LL , 2 1 fAT (7) 0 B k N :玻尔兹曼常数 :单位体积高斯链数目 方程(7)即为橡胶带被拉伸时的状态方程。方程(7)即为橡胶带被拉伸时的状态方程。 拉力和相对伸长量之间关系如图所示:拉力和相对伸长量之间关系如图所示: 10 03 橡胶带的热力学分析03 橡胶带的热力学分析 246810 2 4 6 8 10
7、f 当拉伸长度较小,即当拉伸长度较小,即 时,有时,有 即胡克定律;即胡克定律; 当拉伸长度较大时,当拉伸长度较大时, 有有 00 LLLL 0 = AT fLk L L fAT,1 将测试数据选择函数进行拟合,得:将测试数据选择函数进行拟合,得: 11 03 橡胶带的热力学分析03 橡胶带的热力学分析 0123 0.5 1.0 1.5 2 1 fK 并可求得相关系数为0.9976并可求得相关系数为0.9976 保持环境温度保持环境温度301K,逐渐增大,逐渐增大 ,测试图像为:,测试图像为: 12 03 橡胶带的热力学分析03 橡胶带的热力学分析 -0.50 0.00 0.50 1.00 1
8、.50 2.00 2.50 0.01.02.03.04.05.06.07.0 (N)f 另外,橡胶带拉伸同等长度改变温度,拉力与温度成正比,另外,橡胶带拉伸同等长度改变温度,拉力与温度成正比, 但实验测得改变温度时拉力变化极小,因此暂时不考虑。但实验测得改变温度时拉力变化极小,因此暂时不考虑。 13 03 橡胶带的热力学分析03 橡胶带的热力学分析 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 0.01.02.03.04.05.06.07.08.09.0 (N)f 拉力增加 拉力减小 等温拉伸过程中,橡皮带的熵变:等温拉伸过程中,橡皮带的熵变: 积
9、分得:积分得: 对于,显然有对于,显然有 即橡胶带等温拉伸过程中熵减小,而内能不变,因此橡皮带的内部张力是熵力。即橡胶带等温拉伸过程中熵减小,而内能不变,因此橡皮带的内部张力是熵力。 熵力使橡胶带收缩对外做功,进而可以驱动螺旋桨。熵力使橡胶带收缩对外做功,进而可以驱动螺旋桨。 14 03 橡胶带的热力学分析03 橡胶带的热力学分析 222 111 0 2 1 LL T LL TL Sf SdLdLALd LT (8) 21 021 12 1 () 2 T SAL (9) 21 1 21 =0 T SSS 04 橡胶带驱动螺旋桨测试04 橡胶带驱动螺旋桨测试 15 测试装置:测试装置: 04 橡
10、胶带驱动螺旋桨测试04 橡胶带驱动螺旋桨测试 16 测试过程:测试过程: 05 橡胶带输出功率的理论计算05 橡胶带输出功率的理论计算 17 假设细橡皮筋绕在一个半径固定为假设细橡皮筋绕在一个半径固定为r的圆柱体上面,橡皮筋原长为,的圆柱体上面,橡皮筋原长为, 则一根橡皮筋缠绕则一根橡皮筋缠绕n圈时,有:圈时,有: 橡皮筋的长度橡皮筋的长度 0 L 2 2 2 0 0 2 0 (2)12 n Lr LnrLn nL (10) 05 橡胶带输出功率的理论计算05 橡胶带输出功率的理论计算 18 橡皮带的切线方向和圆柱体中轴线的夹角:橡皮带的切线方向和圆柱体中轴线的夹角: 力矩力矩 L0 Ln n
11、 00 / sin / n nn LnL LnL (11) 3/2 3 2 00 3 0 2 sin111 () nnnn nn LLnr MrFrFATrATr LLL (12) 05 橡胶带输出功率的理论计算05 橡胶带输出功率的理论计算 19 令令 可得拉伸长度对转动角度的函数:可得拉伸长度对转动角度的函数: 同时对力矩公式(12)变形,得力矩与转动角度的关系:同时对力矩公式(12)变形,得力矩与转动角度的关系: 也即:也即: 实验中取实验中取a=1/100,转动圈数约,转动圈数约40圈。圈。 0 = r aa L , 2 2 00 ( )11LLaL (13) 3/2 2 0 ( )1
12、1 () r MATr L (14) 3/2 2 ( )11MATr (15) 05 橡胶带输出功率的理论计算05 橡胶带输出功率的理论计算 20 设时间时,螺旋桨静止。设时间时,螺旋桨静止。 松开螺旋桨后,在橡皮筋的拉力作用下转动,有:松开螺旋桨后,在橡皮筋的拉力作用下转动,有: 可绘出图像:可绘出图像: 0 0tt 0 = 2 00 ( )1LL (16) 3/2 2 0 ( )11MATr (17) ( )M 246810 0.975 0.980 0.985 0.990 0.995 1.000 (rad) ( )(N m)M 05 橡胶带输出功率的理论计算05 橡胶带输出功率的理论计算
13、21 若不考虑摩擦力矩,设系统转动惯量为若不考虑摩擦力矩,设系统转动惯量为I,有:,有: 当时,可以得到当时,可以得到 即:即: ( )Mddd Idtddt (18) 00 00t, 0 2 000 00 22 0 0 1 2 1 1 ATLATL II (19) 000 22 0 0 ( )2 1 1 ATL I (20) 05 橡胶带输出功率的理论计算05 橡胶带输出功率的理论计算 22 可以绘出图像:可以绘出图像: ( ) 246810 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 (rad) ( )(rad/s) 05 橡胶带输出功率的理论计算05 橡胶带输出功率的理论计算 23
14、由方程(17)和(20),橡胶带输出功率为由方程(17)和(20),橡胶带输出功率为 令,则有:令,则有: 可绘出图像:可绘出图像: ( )( ) ( )PM 0 = 1/2 3/2 2 00 0 22 0 2 ( )()11 () 1 1 ATL PATr I (21) ( )P 246810 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 P (rad) ( )(W) 05 橡胶带输出功率的理论计算05 橡胶带输出功率的理论计算 24 由式(21)由式(21) 再利用再利用 进行数值积分,即可得到输出功率与时间的关系进行数值积分,即可得到输出功率与时间的关系 1/2 3/2 2 00 0 22 0
15、 2 ( )()11 () 1 1 ATL PATr I (21) dPdP dtd , ( )PP t 06 橡胶带输出功率的实验测试06 橡胶带输出功率的实验测试 空载(不带螺旋桨)时:空载(不带螺旋桨)时: 中心圆柱体直径中心圆柱体直径2.5mm,橡胶带原长,橡胶带原长10.8 cm,缠绕,缠绕40圈。圈。 25 2468101214 t 50 100 150 200 t (s) (rad) 2468101214 t 5 10 15 20 t (s) ( )(rad/s) 06 橡胶带输出功率的实验测试06 橡胶带输出功率的实验测试 26 0.51.01.52.0 20 40 60 80
16、 100 ( )(rad/s) (rad) 000 22 0 0 ( )2 1 1 ATL I 拟合相关系数拟合相关系数0.9986 06 橡胶带输出功率的实验测试06 橡胶带输出功率的实验测试 输出功率随角度的变化:输出功率随角度的变化: 27 (W) 0.51.01.52.02.5 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 P (rad) 06 橡胶带输出功率的实验测试06 橡胶带输出功率的实验测试 输出功率随时间的变化:输出功率随时间的变化: 28 2468101214 t 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 P t(W)P (s) 06 橡胶带
17、输出功率的实验测试06 橡胶带输出功率的实验测试 1. 建立的物理模型与实际情况有所差别,实验中无法保证橡胶带1. 建立的物理模型与实际情况有所差别,实验中无法保证橡胶带 的缠绕完全均匀;的缠绕完全均匀; 2. 理论中橡皮带每段应均匀放松,但实验中上端迅速松弛,导致2. 理论中橡皮带每段应均匀放松,但实验中上端迅速松弛,导致 输出功率峰值左移;输出功率峰值左移; 3. 马林斯效应等导致橡皮带疲劳,输出功率后段迅速下降;3. 马林斯效应等导致橡皮带疲劳,输出功率后段迅速下降; 4. 摩擦等阻力被忽略不计。4. 摩擦等阻力被忽略不计。 29 偏离分析:偏离分析: 07 总结07 总结 1. 建立和
18、验证了橡胶带的物态方程;1. 建立和验证了橡胶带的物态方程; 2. 橡胶带被拉伸后内部产生的熵力对外做功,提供能量驱动航模等;2. 橡胶带被拉伸后内部产生的熵力对外做功,提供能量驱动航模等; 3. 建立物理模型,将拉力转换为力矩,从理论上推导出橡胶带输出3. 建立物理模型,将拉力转换为力矩,从理论上推导出橡胶带输出 功率随时间的关系,并通过实验对模型进行了检验;功率随时间的关系,并通过实验对模型进行了检验; 4. 实验的输出功率与理论值有所偏离,所建立的物理模型及实验装4. 实验的输出功率与理论值有所偏离,所建立的物理模型及实验装 置还有可改进之处。置还有可改进之处。 30 07 参考文献07
19、 参考文献 1 汪志诚. 热力学与统计物理M. 高等教育出版社. 2003. 2 Savarino G, Fisch M R. A general physics laboratory investigation of the thermodynamics of a rubber bandJ. Am. J. Phys, 1991, 59(2). 3 L.D. Landau, L.P. Pitaevskii, E.M. Lifshitz, Theory of Elasticity. Butterworth-Heinemann Ltd; 3rd Revised edition. 1984.1.1. 4 Mullins L. Effect of stretching on the properties of rubberJ. Rubber Chemistry and Technology, 1948, 21(2): 281-300. 5 Santangelo P G, Roland C M. Chain ends and the Mullins effect in rubberJ. Rubber chemistry and technology, 1992, 65(5): 965-972. 31 谢谢大家谢谢大家
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