专题7 解三角形(解析版)-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析.doc
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1、专题7解三角形一、单选题1已知中,角,所对的边分别为,且,若的外接圆半径为,则( )ABCD【答案】A【分析】首先利用正弦定理边角互化,条件变形为,再与已知条件联立方程,求解,最后再根据正弦定理求.【详解】由,即,则;与联立,可得;因为,故,则.故选:A【点睛】关键点点睛:本题考查利用正弦定理解三角形,本题的关键是利用正弦定理边角互化,将条件,变形为.2已知的顶点和,顶点在椭圆上,则的值为( )ABCD【答案】D【分析】根据椭圆方程求出、,然后利用正弦定理边角互化以及椭圆的定义可求得所求代数式的值.【详解】在椭圆中,则,所以,、分别为椭圆的左、右焦点,由于的顶点在椭圆上,由椭圆的定义可得,因此
2、,.故选:D.【点睛】关键点点睛:解本题的关键在于以下两点:(1)与椭圆焦点三角形相关的问题,一般利用椭圆的定义求解;(2)与三角形正弦值比值相关的问题,可考查利用正弦定理边角互化求解.3在古希腊数学家海伦的著作测地术中记载了著名的海伦公式,利用三角形的三边长求三角形的面积,若三角形的三边长分别为,则其面积,其中,现有一个三角形边长满足,则此三角形面积最大值为( )ABCD【答案】D【分析】由题得,进而得,再根据基本不等式求解即可得答案【详解】解:由,可得,则,当且仅当,时,取得最大值,故选:D【点睛】本题考查知识迁移与应用能力,是中档题.本题解题的关键是根据题意得,进而根据基本不等式求最值.
3、4在平面直角坐标系中,已知顶点和,点在双曲线的右支上,则( )ABCD【答案】D【分析】先根据双曲线的定义求解出,然后根据正弦定理进行边角互化结合线段长度求解出的值.【详解】因为点在双曲线的右支上,且和为双曲线的两个焦点,所以;又因为,所以由正弦定理得,故选:D.【点睛】关键点点睛:解答本题的关键在利用正弦定理将变形为边的形式,然后可根据所给长度求解出结果.5在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知,则ABC的形状为( )A直角三角形B等边三角形C等腰三角形D等腰直角三角形【答案】A【分析】根据二倍角公式和,即可得到,再根据余弦定理,得到,由勾股定理可判断【详解】,可得,为直角三角
4、形,且,故选:A.【点睛】思路点睛:由联想到降幂公式,当余弦和边同时出现时,应通过余弦定理将边将角化为边.6设为等腰三角形,为边上的高,将沿翻折成,若四面体的外接球半径为,则线段的长度为( )ABCD【答案】D【分析】作出翻折后的图形,求出球心到平面的距离,从而求出的外接圆半径,由正弦定理即可求解.【详解】作出翻折后四面体的图形,如图:,平面,由,则, ,设球心到平面的距离为,的外接圆半径为,四面体的外接球半径为,由图可得,解得,在,由正弦定理可得,(为锐角)解得,所以,因为,所以为等边三角形,所以.故选:D【点睛】关键点点睛:本题考查了多面体的外接球问题,解题的关键是求出的外接圆半径,考查了
5、空间想象能力、运算能力.7若向量,则的面积为( )ABC1D【答案】A【分析】推导出,从而,由此能求出【详解】解:,故选:A【点睛】向量的数量积公式、向量的夹角公式、三角形面积公式、平面向量坐标运算法则、向量数量积公式等基础知识,是求解本题的关键.8已知的三边分别为,且边上的高为,则的最大值为 ( )A2B3C4D5【答案】C【分析】由面积公式可得,再用余弦定理可得,即得出结果.【详解】由题,三角形的面积: 由余弦定理: 可得: 所以 所以的最大值为4.故选:C【点睛】关键点点睛:本题考查了正余弦定理解三角形,将边的关系转化为三角函数是解题的关键,考查了转化、运算能力.9在中,分别是内角的对边
6、,若(其中表示的面积),且角的平分线交于,满足,则的形状是( )A有一个角是的等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形【答案】B【分析】由余弦定理和三角形面积公式结合已知得,由得,由角平分线得等腰三角形,从而得等边三角形的结论【详解】,又,所以,所以,由得,又是的平分线,所以,所以是等边三角形故选:D【点睛】关键点点睛:本题考查三角形形状的判断根据已知条件选择相应的三角公式是解题的关键,题中已知条件中,分子易与余弦定理联系在一起,然后结合三角形面积公式求解10若的内角满足,则的最小值是( )ABCD【答案】A【分析】由题设,利用正弦定理角化边得,再结合余弦定理求出,再利用基本不等式可
7、求得其最小值.【详解】由正弦定理,得,则所以,当且仅当,即时,等号成立,所以cos C的最小值为.故选:A【点睛】方法点睛:在解三角形题目中,若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,要选择“边化角”或“角化边”,变换原则常用:(1)若式子含有的齐次式,优先考虑正弦定理,“角化边”;(2)若式子含有的齐次式,优先考虑正弦定理,“边化角”;(3)若式子含有的齐次式,优先考虑余弦定理,“角化边”;(4)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到.11在内角,的对边分别是,若,则的面积的最大值为( )ABCD【答案】D【分析】由正弦定理可得,联立,解得b,由余弦定理、均值
8、不等式,面积公式可求解.【详解】在内角,的对边分别是,若,整理得,利用正弦定理:,由于,整理得:,解得:,整理可得:,(当且仅当时等号成立),当且仅当时,等号成立则的面积的最大值为故选:D【点睛】关键点点睛:求的面积的最大值问题,一般要用面积公式表示出,根据余弦定理及均值不等式求出两边积的最大值即可,本题考查了运算能力,难度中等.12已知点分别是双曲线的左、右焦点,过点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( )ABCD【答案】D【分析】由题意可用双曲线参数表示,由是锐角三角形,令结合余弦定理即得,进而可求离心率的取值范围.【详解】由题意知,若如
9、下图示,则,令,则有,是锐角三角形,有,得,而可知:的范围故选:D【点睛】关键点点睛:利用双曲线参数表示三角形的三边,应用余弦定理结合锐角三角形中内角余弦值范围为,双曲线离心率求离心率范围.二、填空题13已知中,角,所对的边分别为,.,的面积为4,则_.【答案】6【分析】根据已知条件结合先求解出的值,从而的值可求,再结合的面积以及角对应的余弦定理即可求解出的值.【详解】由,得,所以.因为,所以,即,解得,所以,故,所以.由余弦定理及,可得,解得.故答案为:.【点睛】易错点睛:利用正、余弦定理解三角形的注意事项:(1)注意隐含条件“”的使用;(2)对三角函数的相关等式进行化简时,等式两边同时约去
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