5-1函数的切线问题.docx
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1、 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数专题1 函数的切线问题秒杀秘籍:第一讲 切线的几何意义1导数的几何意义:函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率注:()切线方程的计算:2在点处的切线方程:抓住关键:3过点的切线方程:设切点为,则斜率,过切点的切线方程为:过点,然后解出的值(有几个值,就有几条切线,三次函数多解)4定理:令过原点的切线斜率为;过原点的切线斜率为类推:的切线斜率分别为(根据平移记忆)和(不要求记忆)考点1 切线及斜率问题【例1】曲线在点处切线的斜率等于( )A BCD【解析】,【例2】设点P是曲线上的任意一点,点处切线的倾斜角为,则角的范围是()A BCD【
2、解析】 (为第二象限角)或(为第一象限角)【例3】已知函数是偶函数,定义域为,且时, ,则曲线在点处的切线方程为 【解析】曲线在点处的切线方程为,又是偶函数, 曲线在点处的切线方程与曲线在点处的切线方程故意 轴对称,为,故答案为【例4】设是函数图象上异于原点的动点,且该图象在点处的切线的倾斜角为,则的取值范围是 【解析】由题意知 【例5】若是函数图象上的动点,点,则直线斜率的取值范围为( )A BCD【解析】由题意可得: ,结合函数的定义域可知,函数在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,且 ,绘制函数图象如图所示,当直线与函数图象相切时直线的斜率取得最小值,设切点坐标为 ,该点的斜率为 ,切
3、线方程为: ,切线过点 ,则: ,解得: ,切线的斜率 ,综上可得:则直线斜率的取值范围为【例6】已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行,若在区间上单调递减,则实数的取值范围是 【解析】由题意知,由题意得解得,由,得,所以函数的单调减区间为由题意得 ,解得考点2 切线条数问题【例7】过点与曲线相切的直线有且只有两条,则的取值范围是( )A BCD【解析】设切点为,所以切线方程为:,代入,得,即这个关于的方程有两个解化简方程为,即,令,在上单调递增,在上单调递减,,,所以,所以故选【例8】已知曲线与恰好存在两条公切线,则实数a的取值范围是( )A BCD【解析】的导数的导数为,设与曲线相切的切
4、点为相切的切点为,则有公共切线斜率为,又,即有,即为,即有,则有,即为,恰好存在两条公切线,即有两解, 令,则,当时,递减,当时,递增,即有处取得极大值,也为最大值,且为,由恰好存在两条公切线可得与 有两个交点,结合函数的图象与单调性可得的范围是,故选【例9】过点与曲线相切的直线有且只有两条,则实数的取值范围是( )A BCD【解析】设切点为,,所以切线方程为:,代入,得,即这个关于的方程有两个解化简方程为,即,令,在上单调递增,在上单调递减,,所以,所以 【例10】设函数,若过点可作三条直线与曲线相切,则实数的取值范围是( )A BCD【解析】法一:,则,设切点为,则过切点处的切线方程为,把
5、点代入得:整理得:若过点可作三条直线与曲线相切,则方程有三个不同根(左图)令,则,当时,;当时,,的单调增区间为和;单调减区间为当时,有极大值为;当时,有极小值为由,得实数n的取值范围是故选法二:关于点中心对称,在对称中心的切线方程为,故当点位于区域,有三条切线时,(如右图) 考点3 零点、交点、极值点问题【例11】若函数有两个零点,则实数的取值范围是()A BCD【解析】法一:,当时,恒成立,故函数在上单调,不可能有两个零点;当时,令,得,函数在上单调递减,在,上单调递增,所以的最小值为,令,则,当时, 单调递增;当时, ,单调递减,的最小值为,函数有两个零点综上实数a的取值范围是法二:,即
6、与交点问题,由图可知,时,一定有两个交点,时,有仅有一个交点;故选 例题10 例题11 例题12【例12】关于的方程有3个不同的实数解,则实数的取值范围为 【解析】如图,临界情况为与相切的情况,则,所以切点坐标为,则此时,所以只要图象向左移动,都会产生3个交点,所以,即【例13】已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是( )A BCD【解析】函数,则,令得,函数有两个极值点,等价于有两个零点,等价于函数与的图象有两个交点,在同一坐标系中作出它们的图象(如图),当时,直线与 的图象相切,由图可知,当时, 与的图象有两个交点,则实数的取值范围是,故选【例14】设,若函数在区间上有三个零点,则实数的
7、取值范围( )A BCD【解析】令,可得在坐标系内画出函数的图象(如图9所示)当时, 由得设过原点的直线与函数的图象切于点,则有,解得所以当直线与函数的图象切时又当直线经过点时,有,解得结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时,实数的取值范围是即函数在区间上有三个零点时,实数的取值范围是故选 例题13 例题14【例15】对任意的,总有,则的取值范围是( )A BCD【解析】原问题即在区间上恒成立,考查临界情况,即函数与相切时的情形,如图10,很明显切点横坐标位于区间内,此时, ,由可得:,则切点坐标为: ,切线方程为: ,令可得纵截距为: ,结合如图所示的函数图象可得则的取值范围是选【例16
8、】已知定义在上的函数,满足,且当时,若函数在上有唯一的零点,则实数的取值范围是( )A BCD【解析】由题意知, 时, , 时, , , 零点,就是与的交点,画出两函数图象,如图,由图11知, 过原点与相切的直线斜率为,所有直线与曲线有一个交点的的范围是,故选D【例17】若函数存在与直线平行的切线,则实数的取值范围是 【解析】函数存在与直线平行的切线,即与切线平行,过原点且与相切的直线为,如下图所示,显然,故实数的取值范围是【例18】已知函数为偶函数,当时, 若直线与曲线至少有两个交点,则实数的取值范围是( )A BCD【解析】函数为偶函数,故当时, 有交点,则有解,故;当时, , 与相切时,
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