第1章 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修第一册讲义.doc
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1、 1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系学 习 目 标核 心 素 养1掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标(重点)2掌握空间向量的坐标运算(重点)3掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系(重点、难点)4理解空间直角坐标系的定义、建系方法,以及空间的点的坐标确定方法并能简单运用1通过空间向量的直角坐标运算的学习,提升数学运算、逻辑推理素养2通过对空间直角坐标系的学习,提升数学抽象素养一块巨石从山顶坠落,挡住了前面的路,抢修队员紧急赶到,从三个方向拉巨石,这三个力分别为F1,F2,F3,它们两两垂直,且|F1|3 000 N,|F2|2 000 N,|F3|2 000
2、 N,若以F1,F2,F3的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,巨石受合力的坐标是什么?怎样求巨石受到的合力的大小?这就需要用到空间向量运算的坐标表示1空间中向量的坐标一般地,如果空间向量的基底e1,e2,e3中,e1,e2,e3都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底,在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果pxe1ye2ze3,则称有序实数组(x,y,z)为向量p的坐标,记作p(x,y,z)其中x,y,z都称为p的坐标分量思考1:若axe1ye2ze3,则a的坐标一定是(x,y,z)吗?提示不一定,当e1,e2,e3是单位正交基底
3、时,坐标是(x,y,z),否则不是2空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量a,b满足a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则有以下结论:(1)ab(x1x2,y1y2,z1z2);(2)若u,v是两个实数,uavb(ux1vx2,uy1vy2,uz1vz2);(3)abx1x2y1y2z1z2;(4)|a|;(5)当a0且b0时,cosa,b思考2:若向量(x,y,z),则点B的坐标一定是(x,y,z)吗?提示不一定,A点与原点重合时是,不重合时不是3空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直(1)当a0时,abba(x2,y2,z2)(x1,y1,z1),当a的每一个坐标分量都不为
4、零时,有ab(2)abab0x1x2y1y2z1z204空间直角坐标系(1)在空间中任意选定一点O作为坐标原点,选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy,然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz(2)在空间直角坐标系Oxyz中,x轴、y轴、z轴是两两垂直的,它们都称为坐标轴,通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面(3)z轴正方向的确定:在z轴的正半轴看xOy平面,x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90能与y轴的正半轴重合(4)空间直角坐标系的画法:在平面内画空间直角坐标系Oxyz时,一般把x轴、y轴画成水平放置,x轴正方向与y轴正方向夹角为135(或45),z
5、轴与y轴(或x轴)垂直(5)空间中一点的坐标:空间一点M的坐标可用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,其中x叫做点M的横坐标(或x坐标),y叫做点M的纵坐标(或y坐标),z叫做点M的竖坐标(或z坐标)(6)三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分,每一部分都称为一个卦限,按逆时针方向,在坐标平面xOy的上方,分别是第卦限,第卦限,第卦限,第卦限,在平面xOy的下方,分别是第卦限,第卦限,第卦限,第卦限,根据点的坐标的特征,第卦限的点集用集合可表示为(x,y,z)|x0,y0,z05空间向量坐标的应用(1)点P(x,y,z)到坐标原点
6、O(0,0,0)的距离OP(2)任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离P1P21思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)以原点为始点的向量的坐标和点P的坐标相同()(2)若ab0,则ab()(3)在空间直角坐标系中,在Ox轴上的点一定是(0,b,c)()(4)在空间直角坐标系中,在xOz平面上的点的坐标为(a,0,c)()答案(1)(2)(3)(4)提示(2)a0或b0时,a与b不垂直(3)坐标应为(a,0,0)2(教材P19例2改编)已知向量a(3,2,1),b(2,4,0),则4a2b等于()A(16,0,4)B(8,16,4)C(8,16,4) D(8,0
7、,4)D4a2b4(3,2,1)2(2,4,0)(12,8,4)(4,8,0)(8,0,4)3已知e1,e2,e3是单位正交基底,则pe12e23e3的坐标为_(1,2,3)p(1,2,3)4在空间直角坐标系中,点P(3,4,5)与Q(3,4,5)两点的位置关系是_关于x轴对称点P(3,4,5)与Q(3,4,5)两点的横坐标相同,而纵、竖坐标互为相反数,所以两点关于x轴对称空间向量的坐标运算【例1】(1)如图,在棱长为1的正方体ABCDABCD中,E,F,G分别为棱DD,DC,BC的中点,以,为基底,求下列向量的坐标,;,(2)已知空间四点A,B,C,D的坐标分别是(1,2,1),(1,3,4
8、),(0,1,4),(2,1,2)若p,q求p2q;3pq;(pq)(pq)解(1),()(),(2)由于A(1,2,1),B(1,3,4),C(0,1,4),D(2,1,2),所以p(2,1,3),q(2,0,6)p2q(2,1,3)2(2,0,6)(2,1,3)(4,0,12)(6,1,9);3pq3(2,1,3)(2,0,6)(6,3,9)(2,0,6)(4,3,15);(pq)(pq)p2q2|p|2|q|2(221232)(220262)26用坐标表示空间向量的步骤(1)(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算,再进行加法或减法运算,最后进行数量积运算,先算括号里,后算括号
9、外提醒:空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样,应注意一些计算公式的应用1已知O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别为(2,1,2),(4,5,1),(2,2,3),求点P的坐标,使(1)();(2)()解(2,6,3),(4,3,1),(6,3,4)(1)()(6,3,4),则点P的坐标为(2)设点P的坐标为(x,y,z),则(x2,y1,z2)(),即x5,y,z0,则点P的坐标为空间中点的坐标确定及应用【例2】在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是D1D、BD的中点,G在棱CD上,且CGCD,H为C1G的中点,试建立适当的坐标系,写出E,F,G,H的坐标并
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