第2章 2.7.1 抛物线的标准方程-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修第一册讲义.doc
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1、 2.7抛物线及其方程2.7.1抛物线的标准方程学 习 目 标核 心 素 养1理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程(重点)2掌握抛物线的定义及其标准方程的应用(难点)1通过抛物线的定义、标准方程的学习,培养数学抽象、直观想象素养2借助于标准方程的推导过程,提升逻辑推理,数学运算素养在某电视剧中敌我双方都曾使用一种单兵便携式火炮击炮,击炮是一种曲射炮,发射后炮弹先飞向空中,飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面,很难防,地面上要防击炮的工事就必须是有顶盖的对于躲在战壕中的敌人,击炮的密集发射无疑是一场灾难因此研究抛物线是很有必要的,这节课我们就要“走入”抛物线看一看追击炮的弹道曲线1抛物线的定义思
2、考1:平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗?提示不一定当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线;l不经过点F时,点的轨迹是抛物线2抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y思考2:确定抛物线的标准方程时,一般需要确定几个量? 提示:确定两个量,一个是p,另一个是一次项系数的正负思考3:已知抛物线的标准方程,怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向? 提示一次项变量为x(或y),则焦点在x轴(或y轴)上;若系数为正,则焦点在正半轴上;系数为负,则焦点在负半轴上焦点确定,开口方
3、向也随之确定1思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)标准方程y22px(p0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离()(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定()(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线()答案(1)(2)(3)提示(1)抛物线的标准方程中p(p0)即为焦点到准线的距离(2)一次项决定焦点所在的坐标轴,一次项系数的正负决定焦点是在正半轴还是负半轴上(3)当定点在直线上时,不表示抛物线2抛物线yax2的准线方程是y2,则实数a的值为()ABC8D8B由yax2,得x2y,2,a3抛物线y216x的焦点坐标为()A(4,0)B(4,0)C(0,
4、4) D(0,4)Ay216x,p8,4,开口方向向左,焦点坐标为(4,0)4抛物线x216y的准线方程为 y4抛物线的焦点在y轴上,开口方向向上,故准线方程为y,且2p16,4,准线方程为y4求抛物线的标准方程【例1】求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)过点M(6,6);(2)焦点F在直线l:3x2y60上思路探究 解(1)由于点M(6,6)在第二象限,过M的抛物线开口向左或开口向上若抛物线开口向左,焦点在x轴上,设其方程为y22px(p0),将点M(6,6)代入,可得362p(6),p3抛物线的方程为y26x若抛物线开口向上,焦点在y轴上,设其方程为x22py(p0),将点M(6,6)代
5、入可得,362p6,p3,抛物线的方程为x26y综上所述,抛物线的标准方程为y26x或x26y(2)直线l与x轴的交点为(2,0),抛物线的焦点是F(2,0),2,p4,抛物线的标准方程是y28x直线l与y轴的交点为(0,3),即抛物线的焦点是F(0,3),3,p6,抛物线的标准方程是x212y综上所述,所求抛物线的标准方程是y28x或x212y求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,其步骤为:(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型;(2)求参数p的值;(3)确定抛物线的标准方程.提醒:当焦点位置不确定时,应分类讨论,也可以设y2ax或x2ay(a0)的形式,以简化讨论过程.1已知抛物线顶点在
6、原点,对称轴是x轴,点P(5,2)到焦点的距离为6,求抛物线的标准方程解设焦点F(a,0),|PF|6,即a210a90,解得a1,或a9当焦点为F(1,0)时,p2,抛物线的开口向左,其方程为y24x;当焦点为F(9,0)时,p18,抛物线开口向左,其方程为y236x抛物线定义的应用探究问题1抛物线定义的实质可归结为“一动三定”,这句话的含义是什么?提示抛物线定义的实质可归结为“一动三定”,一个动点,设为M;一个定点F,即抛物线的焦点;一条定直线l,即为抛物线的准线;一个定值,即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1定点F不能在直线上,否则,动点M的轨迹就不是抛物线 2如何看待抛物线中焦点
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