2021版高考数学一轮复习第八章立体几何第7讲立体几何中的向量方法练习理北师大版.doc
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1、第7讲 立体几何中的向量方法 基础题组练1.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,长为,长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为()A.B C.D解析:选B.以O为坐标原点建系如图,则A(0,1,0),A1(0,1,1),B1,C.所以(0,0,1),(0,1,1),所以cos,所以,所以异面直线B1C与AA1所成的角为.故选B.2.如图,已知长方体ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,AB3,E为线段AB上一点,且AEAB,则DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为()A. BC. D解析:选A.如图,以D为坐标
2、原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则C1(0,3,1),D1(0,0,1),E(1,1,0),C(0,3,0),所以(0,3,1),(1,1,1),(0,3,1)设平面D1EC的法向量为n(x,y,z),则即即取y1,得n(2,1,3)因为cos,n,所以DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为,故选A.3二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB4,AC6,BD8,CD2.则该二面角的大小为()A150B45 C60D120解析:选C.如图所示,二面角的大小就是,因为,所以22222()2222,所以
3、(2)262428224.因此24,cos,又,0,180,所以,60,故二面角为60.4.如图,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等,E,F,G分别为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为_解析:设正三棱柱的棱长为2,取AC的中点D,连接DG,DB,分别以DA,DB,DG所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B1(0,2),F(1,0,1),E,G(0,0,2),(1,1),(1,0,1)设平面GEF的法向量为n(x,y,z),则即取x1,则z1,y,故n(1,1)为平面GEF的一个法向量,所以|cosn,|,所以B1F与平面GEF所成
4、角的正弦值为.答案:5如图所示,菱形ABCD中,ABC60,AC与BD相交于点O,AE平面ABCD,CFAE,ABAE2.(1)求证:BD平面ACFE;(2)当直线FO与平面BED所成的角为45时,求异面直线OF与BE所成角的余弦值的大小解:(1)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以BDAC.因为AE平面ABCD,BD平面ABCD,所以BDAE.又因为ACAEA,AC,AE平面ACFE.所以BD平面ACFE.(2)以O为原点,OA,OB所在直线分别为x轴,y轴,过点O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向),建立空间直角坐标系,则B(0,0),D(0,0),E(1,0,2),F(1,0,a)(
5、a0),(1,0,a)设平面EBD的法向量为n(x,y,z),则有即令z1,则n(2,0,1),由题意得sin 45|cos,n|,解得a3或a(舍去)所以(1,0,3),(1,2),cos,故异面直线OF与BE所成角的余弦值为.6(2020湖北十堰4月调研)如图,在三棱锥PABC中,M为AC的中点,PAPC,ABBC,ABBC,PB,AC2,PAC30.(1)证明:BM平面PAC;(2)求二面角BPAC的余弦值解:(1)证明:因为PAPC,ABBC,所以MPMBAC1,又MP2MB2BP2,所以MPMB.因为ABBC,M为AC的中点,所以BMAC,又ACMPM,所以BM平面PAC.(2)法一
6、:取MC的中点O,连接PO,取BC的中点E,连接EO,则OEBM,从而OEAC.因为PAPC,PAC30,所以MPMCPC1.又O为MC的中点,所以POAC.由(1)知BM平面PAC,OP平面PAC,所以BMPO.又BMACM,所以PO平面ABC.以O为坐标原点,OA,OE,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由题意知A,B,P,(1,1,0),设平面APB的法向量为n(x,y,z),则令x1,得n(1,1,)为平面APB的一个法向量,易得平面PAC的一个法向量为(0,1,0),cosn,由图知二面角BPAC为锐角,所以二面角BPAC的余弦值为.法二:取PA的中点
7、H,连接HM,HB,因为M为AC的中点,所以HMPC,又PAPC,所以HMPA.由(1)知BM平面PAC,则BHPA,所以BHM为二面角BPAC的平面角因为AC2,PAPC,PAC30,所以HMPC.又BM1,则BH,所以cosBHM,即二面角BPAC的余弦值为.7(2020合肥模拟)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,BF平面ABCD,DE平面ABCD,BFDE,M为棱AE的中点(1)求证:平面BDM平面EFC;(2)若DE2AB,求直线AE与平面BDM所成角的正弦值解:(1)证明:连接AC,交BD于点N,连接MN,则N为AC的中点,又M为AE的中点,所以MNEC.因为MN
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- 2021 高考 数学 一轮 复习 第八 立体几何 中的 向量 方法 练习 北师大
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