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1、,28.1 锐角三角函数 第四课时,锐角三角函数,人教版-数学-九年级-下册,知识回顾,如图,在 RtABC 中,C90, A 的 叫做A的正弦,,对边与斜边的比,A的对边 斜边 = ,即 sin A = .,A 的 叫做A的余弦,,即 cos A = .,邻边与斜边的比,即 tan A = .,对边与邻边的比,A 的 叫做A的正切,,学习目标,2.能根据锐角三角函数的定义解决与直角三角形有关的简单计算,1.进一步认识锐角正弦、余弦和正切.,课堂导入,通过前面的学习,我们知道在直角三角形中,利用三角函数可以求出相关边长和角的度数,那么,在其他图形中我们能利用三角函数解决问题吗?,知识点:利用三
2、角函数解决问题,1.如图,在 RtABC 中,C90,BAC=30,延长 CA 至 D 点,使 AD=AB (1)求D; (2)求tan D 的值,解: (1) AB =AD, D =ABD, BAC =D +ABD =30, D =15.,解:(2)设 BC =x,在 RtABC 中, sinBAC = , AB= sin30 =2x, AC = 2 22 = 3 x, CD =AD+AC=2x+ 3 x=(2+ 3 )x, 在 RtBDC 中,tanD= = 2+ 3 =2- 3 , tan15=2- 3 ,x,x,2 x,2 x,tanD = = 1+ 2 = 2 1,你能用类似的方法求
3、 tan 22.5的值吗?,利用参数法求锐角三角函数值 当已知锐角 的一个三角函数值求锐角 的其他三角函数值时: 1.画出锐角 所在的直角三角形; 2.利用已知的三角函数值,通过采用设参数的方法,并结合勾股定理表示出三角形的三条边的长; 3.根据锐角三角函数的定义求解.,2.已知,如图,O 的半径 OA=4,弦 AB= 4 3 ,求劣弧 AB 的长,解:连接 OB,过点 O 作 AB 的垂线, 垂足为点 D,则点 D 为 AB 的中点, AB =4 3 , AD =2 3 , 在 RtOAD 中,sinAOD = 2 3 4 3 2 , AOD =60, AOB =120, 劣弧 AB 的长=
4、 1204 180 = 8 3 ,D,3.如图,钝角三角形 ABC 中,AC=12 cm,AB=16 cm,sinA = 1 3 求 tan B 的值,D,解:过点 C 作 AB 的垂线,垂足为点 D, 在 RtACD 中,sinA = 12 1 3 , CD =4 cm,则 = 22 =8 2 cm, 则 BD =AB-AD =16-8 2 cm, 在 RtBCD 中,tanB = 4 168 2 2+ 2 4 ,构造直角三角形求锐角三角函数值 锐角三角函数是在直角三角形的条件下定义的,因此当题目要求某一个锐角的三角函数值时,要先观察这个锐角是否在某一个直角三角形中,当这个锐角不在直角三角形
5、中时,一般可以先通过作辅助线构造与该角有关的直角三角形,再利用锐角三角函数的定义进行求解.,求一个锐角的三角函数的实质是求什么?,实质是求边长的比.,可以转化为边长的比.,已知一个锐角的三角函数值可以转化为怎样的条件?,如图,已知钝角三角形 ABC,点 D 在 BC 的延长线上,连接 AD,若ACB =2D,AD =2,AC= 3 2 ,求 sin D 的值.,解:过点 C 作 CHAD 于点 H. ACB =2D,ACB =D +CAD, D =CAD, CD =AC = 3 2 ,AH =HD =1, CH = 22 = 3 2 2 12 = 5 2 ,,sin D = = 5 2 3 2
6、 = 5 3 .,H,1.如图,ABC 的顶点是正方形网格的格点,则 sin A 的值为( ),D,A. 1 2,B. 5 5,C. 10 10,D. 2 5 5,B,在网格中求锐角三角函数值的方法 在网格中求某一锐角的三角函数值时,先借助网格的特点,利用勾股定理求出三角形的各边长,然后利用勾股定理的逆定理判断该三角形是否为直角三角形.若是,再利用锐角三角函数的定义求出三角函数值;若不是,则需作辅助线构造直角三角形.当锐角所在的直角三角形的各边不能求出时,可利用等角转换法进行求解.,2.如图是墙壁上在 l1,l2 两条平行线间边长为 a 的正方形瓷砖,该瓷砖与平行线的较大夹角为 ,则两条平行线
7、间的距离为( ) Aasin Basin+acos C2acos Dasin-acos,B,D,C,A,解:过 B 作 EFl1于点 E,EFl2于点 F , 四边形 ABCD 是正方形, AB=BC=a,ABC =90, ABE +CBF =ABE+BAE=90, BAE=CBF, AEB=BFC=90, ABEBCF (AAS), BE =CF,,F,E,B,D,C,A,在 RtBCF 中,BF =asin,CF=acos, BE =acos, EF=BE+BF=asin+acos, 即两条平行线间的距离为 asin+acos .,3.如图,在四边形 ABCD 中,B =D =90,AB
8、=3,BC =2,tan A= 4 3 ,则 CD 的值为 .,O,4,3,2,5,在RtOCD 中,sin O = = 2,在RtOAB 中,sin O = = 3 5,6 5,2,课堂小结,求一个锐角的三角函数的实质是求边长的比.,已知一个锐角的三角函数值可以转化为边长的比.,在非直角三角形中,可以通过添加辅助线,构造直角三角形,结合三角函数解决问题.,1.如图,RtABC 中,C =90,点 D 在 AC 上,DBC=A若 AC =4,cosA= 4 5 ,则 BD 的长度为( ) A. 9 4 B. 12 5 C. 15 4 D. 4,= =5,4,= = ,C,3,A,D,C,B,2
9、.如图,在ABC 中,ACB =90,点 D 为 AB 边的中点,连接 CD,若 BC =4,CD =3,则 cosDCB 的值为 ,解析:过点 D 作 DEBC,垂足为点 E, ACB=90,DEBC, DE/AC,又点 D 为 AB 边的中点, BE =EC = 1 2 BC =2, 在 RtDCE 中,cosDCB = = 2 3 .,2 3,E,A,B,D,C,2.如图,在ABC 中,ACB =90,点 D 为 AB 边的中点,连接 CD,若 BC =4,CD =3,则 cosDCB 的值为 ,2 3,4,3,3,3,cosDCB = cosABC = = 4 6 = 2 3 .,3.如图,在边长相同的小正方形网格中,点 A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD 相交于点 P,则 = ,tanAPD = ? ,ACPBDP,B,C,A,D,P,3,3.如图,在边长相同的小正方形网格中,点 A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD 相交于点 P,则 = ,tanAPD = ,DP=PF= 1 2 CF= 1 2 BF,B,C,A,D,P,E,F,2,3,课后作业,请完成课本后练习第2题.,28.1 锐角三角函数 第四课时,谢谢聆听,人教版-数学-九年级-下册,
限制150内