相空间-刘维尔定理.ppt
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1、相空间 刘维尔定理,主要内容,怎样描述系统的微观(力学)运动状态 相空间 刘维尔定理 相空间的研究应用 刘维尔定理的扩充,系统的微观(力学)运动状态的描述,(第 种粒子自由度为 ,粒子数为 ),多种不同粒子组成的系统,自由度:,设系统由N个全同粒子组成,粒子自由度:r,系统自由度:,经典描述:系统在任一时刻的微观运动状态由 f 个广义坐标及与其共轭的 f 个广义动量在该时刻的数值确定。,系统的运动状态随时间的变化遵从哈密顿正则方程:,共 个变量在直角坐标构成一个 维空间,称为相空间或空间。,相空间(空间),系统某一时刻的运动状态在空间为一代表点。,系统在空间的运行轨道由上述方程决定。,对于孤立
2、系统,H不是时间t的显函数。所以,当 系统的运动状态随时间变化时,代表点相应地再相空 间中移动,其轨道由哈密顿正则方程确定。由于轨道 的运动方向完全由 和 确定,而哈密顿量和它的 微商又是单值函数,故根据哈密顿正则方程,经过相 空间任何一点的轨道只能有一条。系统从某一初态出 发,代表点在相空间的轨道或者是一条封闭的曲线, 或者是一条自身永不相交的曲线。当系统从不同的初 态出发,代表点沿相空间中不同的轨道运动时,不同的轨道也互不相交。,孤立系统:哈密顿量就是能量,E不随时间改变,系统的广义坐标和动量必然满足条件:,孤立系统的代表点 位于能量曲面上。,设想大量结构完全相同的系统,各自从其初态出发独
3、立地沿着正则方程所规定的轨道运动,各系统的运动状态的代表点在相空间形成一个分布。,代表点密度:,相空间体积元:,满足:,刘维尔定理( ) 现在先考虑代表点密度 随时间 的变化。当时间 由 变到 时,在 、 处的代表点将运动到 处。在后一处的密度是 其中,证明:考虑相空间中一个固定的体积元 这体积元是以下述 对平面为边界构成的: 在时刻 ,在 内的代表点数为 。经过时间 之后,有些代表点走出了这个体积元,另有些代 表点走进了这个体积元,使得在这个固定的体积元中 的代表点数变为,两者相减得经 时间后, 内代表点的增加为 代表点需要通过这 对边界平面才能进入或走 出体积元 。现在计算通过平面 进入
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